Из урны с 7 красными и 3 синими шарами берут наугад 5 шаров. Какова вероятность того, что все взятое...

Для решения задачи найдем вероятность того, что все взятые шары окажутся красными.

Исходные данные:

• В урне 7 красных шаров.
• В урне 3 синих шара.
• Всего в урне 10 шаров.
• Берем наугад 5 шаров.

Шаг 1: Найти общее число возможных комбинаций из 5 шаров, которые можно выбрать из 10 шаров. Мы можем воспользоваться биномиальным коэффициентом для этого:

[ \binom{10}{5} ]

Этот коэффициент вычисляется по формуле:

[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} ]

Подставим наши значения ( n = 10 ) и ( k = 5 ):

[ \binom{10}{5} = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5! \cdot 5!} ]

Рассчитаем факториалы:

[ 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 ] [ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 ]

Подставим значения:

[ \binom{10}{5} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{30240}{120} = 252 ]

Шаг 2: Найти число благоприятных исходов, где все 5 шаров красные. Для этого выберем 5 красных шаров из 7:

[ \binom{7}{5} ]

Этот коэффициент вычисляется по аналогичной формуле:

[ \binom{7}{5} = \frac{7!}{5!(7-5)!} = \frac{7!}{5! \cdot 2!} ]

Рассчитаем факториалы:

[ 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040 ] [ 2! = 2 \times 1 = 2 ]

Подставим значения:

[ \binom{7}{5} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = \frac{42}{2} = 21 ]

Шаг 3: Найти вероятность того, что все взятые шары окажутся красными. Для этого разделим число благоприятных исходов на общее число возможных исходов:

[ P = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число исходов}} = \frac{\binom{7}{5}}{\binom{10}{5}} = \frac{21}{252} ]

Упростим дробь:

[ \frac{21}{252} = \frac{1}{12} ]

Таким образом, вероятность того, что все взятые шары окажутся красными, равна ( \frac{1}{12} ) или приблизительно 0.0833 (8.33%).

Для решения данной задачи воспользуемся формулой комбинаторики. Общее количество способов выбрать 5 шаров из урны с 10 шарами равно C(10, 5) = 252.

Теперь посчитаем количество способов выбрать 5 красных шаров из 7 красных. Это равно C(7, 5) = 21.

Итак, вероятность того, что все 5 выбранных шаров окажутся красными, равна отношению числа способов выбрать 5 красных шаров ко всему числу способов выбрать 5 шаров: P = 21/252 = 1/12 ≈ 0.0833 или около 8.33%.

Таким образом, вероятность того, что все выбранные шары окажутся красными, составляет примерно 8.33%.