Избавьтесь от иррациональности в знаменателе: 3 корней из 2 делить на корень из 5 минус корень из 2

Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим и разделим выражение на сопряженное к знаменателю выражение: ( \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{10} + 6}{5 - 2} = \frac{3\sqrt{10} + 6}{3} = \sqrt{10} + 2 )

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе выражения (\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}), нужно умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя. Сопряженное выражение для (\sqrt{5} - \sqrt{2}) — это (\sqrt{5} + \sqrt{2}).

Вот шаги для выполнения этого процесса:

1. Умножение на сопряженное:

   Умножаем числитель и знаменатель на (\sqrt{5} + \sqrt{2}):

   [ \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})} ]

2. Упрощение знаменателя:

   Знаменатель представляет собой разность квадратов: ((a - b)(a + b) = a^2 - b^2). В нашем случае, (a = \sqrt{5}) и (b = \sqrt{2}):

   [ (\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3 ]

3. Упрощение числителя:

   Раскроем скобки в числителе:

   [ 3\sqrt{2}(\sqrt{5} + \sqrt{2}) = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} + 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} ]

   [ = 3\sqrt{10} + 3 \times 2 = 3\sqrt{10} + 6 ]

4. Записываем окончательное выражение:

   Теперь у нас есть упрощенное выражение:

   [ \frac{3\sqrt{10} + 6}{3} ]

5. Разделение каждого члена на 3:

   Разделим каждый член числителя на 3:

   [ \frac{3\sqrt{10}}{3} + \frac{6}{3} = \sqrt{10} + 2 ]

Таким образом, итоговое выражение, в котором иррациональность в знаменателе устранена, выглядит следующим образом:

[ \sqrt{10} + 2 ]

Для избавления от иррациональности в знаменателе произведем домножение на сопряженное выражение:

(3√2) / (√5 - √2) * (√5 + √2) / (√5 + √2)

После упрощения получаем:

(3√2 * (√5 + √2)) / ((√5)^2 - (√2)^2)

(3√10 + 6) / (5 - 2)

(3√10 + 6) / 3

√10 + 2

Таким образом, после избавления от иррациональности в знаменателе, выражение равно √10 + 2.