Изобразите схематически график функцый и укажите область ее значений: a) y=x²+3; b) y=$x+1$; c) y=–x²+2.

Для каждой из указанных функций рассмотрим их свойства и построим графики, а также определим области значений.

a) $y=x^2+3$

1. Вид функции: Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.
2. Вершина параболы: Вершина находится в точке $0,3$, так как $x^2$ минимально при $x=0$.
3. Ветви параболы: Ветви параболы направлены вверх, потому что коэффициент перед $x^2$ положительный.
4. Область значений: Поскольку $x^2$ всегда неотрицательно, минимальное значение функции $x^2+3$ равно 3. Следовательно, область значений — это все числа от 3 включительно до бесконечности: $y\ge 3$.

График функции $y=x^2+3$ выглядит как парабола, смещенная вверх на 3 единицы относительно стандартной параболы $y=x^2$.

b) $y=x+1$

1. Вид функции: Это линейная функция, графиком которой является прямая линия.
2. Наклон и пересечение: Уравнение в стандартной форме $y=mx+b$ имеет наклон $m=1$ и пересекает ось y в точке 1.
3. Область значений: Для линейной функции область значений — все действительные числа, так как при изменении $x$ от минус бесконечности до плюс бесконечности $y$ также будет изменяться от минус бесконечности до плюс бесконечности.

График функции $y=x+1$ представляет собой прямую линию с наклоном 45 градусов, пересекающую ось y в точке $0,1$.

c) $y=-x^2+2$

1. Вид функции: Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.
2. Вершина параболы: Вершина находится в точке $0,2$, так как $-x^2$ максимально при $x=0$.
3. Ветви параболы: Ветви параболы направлены вниз, потому что коэффициент перед $x^2$ отрицательный.
4. Область значений: Поскольку $-x^2$ всегда неположительно, максимальное значение функции $-x^2+2$ равно 2. Следовательно, область значений — это все числа от минус бесконечности до 2 включительно: $y\le 2$.

График функции $y=-x^2+2$ представляет собой параболу, смещенную вверх на 2 единицы относительно стандартной параболы $y=-x^2$.

Резюмируя:

a) $y=x^2+3$

• График: парабола, вершина $0,3$, ветви вверх.
• Область значений: $y\ge 3$.

b) $y=x+1$

• График: прямая линия с наклоном 1, пересечение оси y в точке $0,1$.
• Область значений: все действительные числа.

c) $y=-x^2+2$

• График: парабола, вершина $0,2$, ветви вниз.
• Область значений: $y\le 2$.

Для начала, построим графики каждой из функций:

a) y = x² + 3 График функции y = x² + 3 - это парабола, которая открывается вверх. Так как коэффициент при x² положительный, парабола направлена вверх. Точка вершина параболы находится в точке $0,3$, а парабола проходит через точку $0,3$.

b) y = x + 1 График функции y = x + 1 - это прямая линия с угловым коэффициентом 1 и сдвигом по оси y на 1 единицу. Прямая проходит через точку $0,1$.

c) y = -x² + 2 График функции y = -x² + 2 - это парабола, которая открывается вниз. Так как коэффициент при x² отрицательный, парабола направлена вниз. Точка вершина параболы находится в точке $0,2$, а парабола проходит через точку $0,2$.

Теперь укажем область значений каждой из функций:

a) Для функции y = x² + 3, область значений будет y ≥ 3, так как функция принимает значения больше или равные 3.

b) Для функции y = x + 1, область значений будет вся вещественная прямая, так как функция не ограничена сверху или снизу.

c) Для функции y = -x² + 2, область значений также будет y ≤ 2, так как функция принимает значения меньше или равные 2.

Таким образом, схематически графики функций и область их значений выглядят следующим образом: a) ^ 3 | | | | | *
+----------------->

0

b) ^ |
2 | | | | | *
+----------------->

0

c) ^ 2 |
| | | | * +----------------->

0