Изобразите схематически график функцый и укажите область ее значений: a) y=x²+3; b) y=(x+1); c) y=–x²+2.

Для каждой из указанных функций рассмотрим их свойства и построим графики, а также определим области значений.

a) ( y = x^2 + 3 )

1. Вид функции: Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.
2. Вершина параболы: Вершина находится в точке (0, 3), так как ( x^2 ) минимально при ( x = 0 ).
3. Ветви параболы: Ветви параболы направлены вверх, потому что коэффициент перед ( x^2 ) положительный.
4. Область значений: Поскольку ( x^2 ) всегда неотрицательно, минимальное значение функции ( x^2 + 3 ) равно 3. Следовательно, область значений — это все числа от 3 включительно до бесконечности: ( y \geq 3 ).

График функции ( y = x^2 + 3 ) выглядит как парабола, смещенная вверх на 3 единицы относительно стандартной параболы ( y = x^2 ).

b) ( y = x + 1 )

1. Вид функции: Это линейная функция, графиком которой является прямая линия.
2. Наклон и пересечение: Уравнение в стандартной форме ( y = mx + b ) имеет наклон ( m = 1 ) и пересекает ось y в точке 1.
3. Область значений: Для линейной функции область значений — все действительные числа, так как при изменении ( x ) от минус бесконечности до плюс бесконечности ( y ) также будет изменяться от минус бесконечности до плюс бесконечности.

График функции ( y = x + 1 ) представляет собой прямую линию с наклоном 45 градусов, пересекающую ось y в точке (0, 1).

c) ( y = -x^2 + 2 )

1. Вид функции: Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.
2. Вершина параболы: Вершина находится в точке (0, 2), так как ( -x^2 ) максимально при ( x = 0 ).
3. Ветви параболы: Ветви параболы направлены вниз, потому что коэффициент перед ( x^2 ) отрицательный.
4. Область значений: Поскольку ( -x^2 ) всегда неположительно, максимальное значение функции ( -x^2 + 2 ) равно 2. Следовательно, область значений — это все числа от минус бесконечности до 2 включительно: ( y \leq 2 ).

График функции ( y = -x^2 + 2 ) представляет собой параболу, смещенную вверх на 2 единицы относительно стандартной параболы ( y = -x^2 ).

Резюмируя:

a) ( y = x^2 + 3 )

• График: парабола, вершина (0, 3), ветви вверх.
• Область значений: ( y \geq 3 ).

b) ( y = x + 1 )

• График: прямая линия с наклоном 1, пересечение оси y в точке (0, 1).
• Область значений: все действительные числа.

c) ( y = -x^2 + 2 )

• График: парабола, вершина (0, 2), ветви вниз.
• Область значений: ( y \leq 2 ).

Для начала, построим графики каждой из функций:

a) y = x² + 3 График функции y = x² + 3 - это парабола, которая открывается вверх. Так как коэффициент при x² положительный, парабола направлена вверх. Точка вершина параболы находится в точке (0,3), а парабола проходит через точку (0,3).

b) y = x + 1 График функции y = x + 1 - это прямая линия с угловым коэффициентом 1 и сдвигом по оси y на 1 единицу. Прямая проходит через точку (0,1).

c) y = -x² + 2 График функции y = -x² + 2 - это парабола, которая открывается вниз. Так как коэффициент при x² отрицательный, парабола направлена вниз. Точка вершина параболы находится в точке (0,2), а парабола проходит через точку (0,2).

Теперь укажем область значений каждой из функций:

a) Для функции y = x² + 3, область значений будет y ≥ 3, так как функция принимает значения больше или равные 3.

b) Для функции y = x + 1, область значений будет вся вещественная прямая, так как функция не ограничена сверху или снизу.

c) Для функции y = -x² + 2, область значений также будет y ≤ 2, так как функция принимает значения меньше или равные 2.

Таким образом, схематически графики функций и область их значений выглядят следующим образом: a) ^ 3 | | | | | *
+----------------->

0

b) ^ |
2 | | | | | *
+----------------->

0

c) ^ 2 |
| | | | * +----------------->

0