Известно, что sin t=-15/17, П<t<3П/2. Вычислите cost , tgt , ctgt )

Для начала найдем косинус угла t. Используем тригонометрическую тождество sin^2 t + cos^2 t = 1:

cos^2 t = 1 - sin^2 t cos^2 t = 1 - (-15/17)^2 cos^2 t = 1 - 225/289 cos^2 t = 64/289 cos t = ±8/17

Так как угол t находится во второй четверти (π < t < 3π/2), то cos t < 0. Следовательно, cos t = -8/17.

Теперь найдем тангенс угла t. Используем определение тангенса: tg t = sin t / cos t:

tg t = (-15/17) / (-8/17) tg t = 15/8

Наконец, найдем котангенс угла t. Котангенс - это обратное значение тангенса: ctg t = 1 / tg t:

ctg t = 1 / (15/8) ctg t = 8/15

Итак, получаем: cos t = -8/17 tg t = 15/8 ctg t = 8/15

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

1. Дано: (\sin t = -\frac{15}{17}) и (\pi < t < \frac{3\pi}{2}).

   Указанный интервал (\pi < t < \frac{3\pi}{2}) соответствует третьей четверти тригонометрической окружности, где синус отрицательный, косинус тоже отрицательный, а тангенс и котангенс положительные.

2. Вычисление (\cos t):

   Используем основное тригонометрическое тождество:

   [ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 ]

   Подставляем значение синуса:

   [ \left(-\frac{15}{17}\right)^2 + \cos^2 t = 1 ]

   [ \frac{225}{289} + \cos^2 t = 1 ]

   [ \cos^2 t = 1 - \frac{225}{289} = \frac{64}{289} ]

   (\cos t) может быть равен (\pm \frac{8}{17}). Однако, учитывая, что (t) находится в третьей четверти, где косинус отрицателен, имеем:

   [ \cos t = -\frac{8}{17} ]

3. Вычисление (\tan t):

   Тангенс определяется как отношение синуса к косинусу:

   [ \tan t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{-\frac{15}{17}}{-\frac{8}{17}} = \frac{15}{8} ]

   В третьей четверти тангенс положителен, что соответствует нашему результату.

4. Вычисление (\cot t):

   Котангенс — это обратная величина тангенса:

   [ \cot t = \frac{1}{\tan t} = \frac{8}{15} ]

Таким образом, мы нашли следующие значения:

• (\cos t = -\frac{8}{17})
• (\tan t = \frac{15}{8})
• (\cot t = \frac{8}{15})

Эти результаты согласуются с положением угла в третьей четверти, где синус и косинус отрицательны, а тангенс и котангенс положительны.

sin t = -15/17, t во второй четверти, поэтому cos t < 0, sin^2 t + cos^2 t = 1, cos^2 t = 1 - sin^2 t = 1 - (-15/17)^2 = 1 - 225/289 = 64/289, cos t = -8/17 tg t = sin t / cos t = (-15/17) / (-8/17) = 15/8 ctg t = 1 / tg t = 8/15