Какой многоугольник называется вписанным в окружность? Описанным около окружности?

Вписанный многоугольник - это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. Описанный многоугольник - это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности.

Вписанным в окружность называется многоугольник, у которого все вершины лежат на окружности. Такой многоугольник можно построить, проводя стороны через центр окружности.

Описанным около окружности называется многоугольник, у которого все вершины лежат на окружности, а сама окружность проходит через все вершины многоугольника. Такой многоугольник можно построить, проводя радиусы окружности к вершинам многоугольника.

В геометрии понятия вписанного и описанного многоугольников тесно связаны с окружностью и имеют свои специфические характеристики и условия.

Вписанный многоугольник:

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на окружности. Такая окружность называется описанной вокруг многоугольника.

Характеристики и свойства:

1. Центр окружности: Центр окружности, описанной вокруг многоугольника, называется центром многоугольника.
2. Угол: Вплоть до четырёхугольников, внутренние углы вписанного многоугольника соответствуют определённым условиям. Например, в прямоугольнике или квадрате такая окружность существует, и её центр является также центром симметрии фигуры.
3. Правильные многоугольники: Все правильные многоугольники (равносторонние и равновеликие) можно вписать в окружность. В этом случае центр окружности совпадает с центром многоугольника.

Примеры:

• Вписанный треугольник: любой треугольник можно вписать в окружность.
• Вписанный четырёхугольник: четырёхугольник может быть вписан в окружность, если сумма его противоположных углов равна 180 градусам (теорема Птолемея).

Описанный многоугольник:

Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются окружности. Такая окружность называется вписанной в многоугольник.

Характеристики и свойства:

1. Центр окружности: Центр окружности, вписанной в многоугольник, называется инцентром многоугольника. Он является точкой, равноудалённой от всех сторон многоугольника.
2. Касательные: Все стороны многоугольника являются касательными к вписанной окружности.
3. Правильные многоугольники: Для правильного многоугольника можно вписать окружность, и центр этой окружности будет совпадать с центром многоугольника.

Примеры:

• Описанный треугольник: любой треугольник может иметь вписанную окружность, центр которой находится в точке пересечения биссектрис углов треугольника.
• Описанный четырёхугольник: четырёхугольник может быть описан около окружности, если сумма длин его противоположных сторон равна (теорема об описанном четырёхугольнике).

Заключение:

Понятия вписанного и описанного многоугольников играют важную роль в геометрии и математике в целом. Они позволяют изучать и анализировать свойства фигур, их симметрию и взаимосвязи с окружностью, что является ключевым для решения различных геометрических задач и теорем.