Касательная, проведённая к графику функции y = 2x^3 - 6x^2 + 7x - 9 в некоторой точке, образует с положительным...

Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать свойства производной функции. Касательная к графику функции в точке будет иметь наклон, равный значению производной функции в этой точке.

1. Нахождение координат точки касания.

Функция задана как ( y = 2x^3 - 6x^2 + 7x - 9 ). Чтобы найти угловой коэффициент касательной в любой точке, необходимо найти производную функции:

[ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 - 6x^2 + 7x - 9) = 6x^2 - 12x + 7. ]

Касательная образует угол 45° с положительным направлением оси Ox. Это значит, что угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла 45°, то есть 1. Поэтому нам нужно решить уравнение:

[ 6x^2 - 12x + 7 = 1. ]

Упростим его:

[ 6x^2 - 12x + 6 = 0. ]

Разделим оба члена уравнения на 6:

[ x^2 - 2x + 1 = 0. ]

Это уравнение можно записать как полный квадрат:

[ (x - 1)^2 = 0. ]

Таким образом, ( x = 1 ).

Теперь найдем значение функции в этой точке, чтобы получить координаты точки касания:

[ y = 2(1)^3 - 6(1)^2 + 7(1) - 9 = 2 - 6 + 7 - 9 = -6. ]

Таким образом, точка касания имеет координаты ( (1, -6) ).

1. Составление уравнения касательной.

Мы знаем, что угловой коэффициент касательной (производная в точке) равен 1, и она проходит через точку ( (1, -6) ). Уравнение прямой в общем виде можно записать как:

[ y - y_1 = m(x - x_1), ]

где ( m ) — угловой коэффициент, а ( (x_1, y_1) ) — точка касания. Подставляем известные значения:

[ y - (-6) = 1(x - 1). ]

Упростим:

[ y + 6 = x - 1, ]

[ y = x - 7. ]

Таким образом, уравнение касательной: ( y = x - 7 ).

1) Координаты точки касания: (1, -6) 2) Уравнение касательной: y = 3x - 9

1) Для нахождения координат точки касания найдем производную функции y = 2x^3 - 6x^2 + 7x - 9: y' = 6x^2 - 12x + 7

Поскольку касательная образует угол 45° с положительным направлением оси Ox, то коэффициент наклона касательной равен tg(45°) = 1.

Уравнение касательной в точке (x0, y0) имеет вид: y - y0 = k(x - x0)

Подставляя производную и условие на угол в уравнение касательной, получаем: 2x0^3 - 6x0^2 + 7x0 - 9 - y0 = x0(6x0^2 - 12x0 + 7)

Система уравнений для нахождения x0 и y0: 2x0^3 - 6x0^2 + 7x0 - 9 - y0 = 6x0^3 - 12x0^2 + 7x0 y0 = 2x0^3 - 6x0^2 + 7x0 - 9

Решая данную систему, найдем координаты точки касания.

2) Найдя координаты точки касания (x0, y0), можем составить уравнение касательной: y - y0 = (6x0^2 - 12x0 + 7)(x - x0)

Таким образом, уравнение касательной к функции y = 2x^3 - 6x^2 + 7x - 9 в точке касания (x0, y0) будет иметь вид: y - y0 = (6x0^2 - 12x0 + 7)(x - x0)