Катер, собственная скорость которого 8км/ч прошел по реке расстояние, равное 15 км по течению реки и такое же расстояние против течения. Найдите скорость течения реки, если время, затраченое на весь путь, равно 4 ч.
Катер, собственная скорость которого 8км/ч прошел по реке расстояние, равное 15 км по течению реки и такое же расстояние против течения. Найдите скорость течения реки, если время, затраченое на весь путь, равно 4 ч.
Пусть скорость течения реки равна v км/ч. Тогда скорость катера по течению реки будет равна 8 + v км/ч, а против течения - 8 - v км/ч.
По формуле времени пути (t = s/v) составим уравнение для всего пути катера: 15 / (8 + v) + 15 / (8 - v) = 4
Умножим обе части уравнения на НОК знаменателей (8 + v)(8 - v): 15(8 - v) + 15(8 + v) = 4(8 + v)(8 - v)
Раскроем скобки и преобразуем уравнение: 120 - 15v + 120 + 15v = 4(64 - v^2) 240 = 256 - 4v^2 4v^2 = 16 v^2 = 4 v = 2
Ответ: скорость течения реки равна 2 км/ч.
Для решения данной задачи мы можем воспользоваться следующими уравнениями и идеями.
Пусть ( v ) обозначает скорость течения реки. Тогда скорость катера по течению реки будет ( 8 + v ) км/ч, а против течения реки — ( 8 - v ) км/ч.
Расстояние, которое нужно преодолеть в обоих направлениях, одинаково и равно 15 км.
Время, затраченное на путь по течению реки, можно выразить как ( t_1 = \frac{15}{8 + v} ), а время, затраченное на путь против течения реки, как ( t_2 = \frac{15}{8 - v} ).
Общее время в пути составляет 4 часа, следовательно, уравнение для времени будет выглядеть так: [ \frac{15}{8 + v} + \frac{15}{8 - v} = 4 ]
Для упрощения решения умножим обе части уравнения на ( (8+v)(8-v) ) (знаменатель общего множителя левой части уравнения), чтобы избавиться от дробей: [ 15(8 - v) + 15(8 + v) = 4(64 - v^2) ] [ 120 - 15v + 120 + 15v = 256 - 4v^2 ] [ 240 = 256 - 4v^2 ]
Упростим и перегруппируем уравнение: [ 4v^2 = 256 - 240 ] [ 4v^2 = 16 ] [ v^2 = 4 ] [ v = 2 \quad (\text{поскольку скорость не может быть отрицательной}) ]
Итак, скорость течения реки составляет 2 км/ч.
