(Х-1)(х²+6х+9)=5(х+3) ,решить уравнение.

Решим уравнение ((x-1)(x^2+6x+9)=5(x+3)).

1. Раскроем скобки в левой части уравнения:

   [ (x-1)(x^2+6x+9) = x(x^2+6x+9) - 1(x^2+6x+9) ]

   Выполним умножение:

   [ x(x^2+6x+9) = x^3 + 6x^2 + 9x ]

   [ -1(x^2+6x+9) = -x^2 - 6x - 9 ]

   Теперь сложим полученные выражения:

   [ x^3 + 6x^2 + 9x - x^2 - 6x - 9 = x^3 + 5x^2 + 3x - 9 ]

2. Перенесем все члены из правой части уравнения в левую:

   [ x^3 + 5x^2 + 3x - 9 = 5x + 15 ]

   [ x^3 + 5x^2 + 3x - 9 - 5x - 15 = 0 ]

   [ x^3 + 5x^2 - 2x - 24 = 0 ]

3. Решим полученное кубическое уравнение (x^3 + 5x^2 - 2x - 24 = 0):

   Применим метод проб и ошибок для поиска целых корней, используя теорему о рациональных корнях. Потенциальные целые корни — это делители свободного члена (-24): (\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24).

   Проверим (x = 2):

   [ 2^3 + 5(2)^2 - 2(2) - 24 = 8 + 20 - 4 - 24 = 0 ]

   Значит, (x = 2) — корень уравнения.

4. Разделим многочлен на ((x - 2)) для нахождения оставшихся корней:

   Выполним деление многочлена (x^3 + 5x^2 - 2x - 24) на ((x - 2)) с помощью схемы Горнера или деления столбиком:

   [ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 1 & 5 & -2 & -24 \

   &   & 2 & 14 & 24 \\
   

   \hline

   & 1 & 7 & 12 & 0 \\
   

   \end{array} ]

   Получаем квадратный многочлен: (x^2 + 7x + 12).

5. Найдем корни квадратного уравнения (x^2 + 7x + 12 = 0):

   Используем дискриминант:

   [ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 ]

   Корни уравнения:

   [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm 1}{2} ]

   [ x_1 = \frac{-7 + 1}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-7 - 1}{2} = -4 ]

6. Ответ:

   Уравнение имеет три корня: (x = 2), (x = -3), (x = -4).

Для начала раскроем скобки в левой части уравнения:

(х-1)(х²+6х+9) = x(х²+6х+9) - 1(х²+6х+9) = x³ + 6x² + 9x - х² - 6x - 9 = x³ + 5x² + 3x - 9

Таким образом, уравнение примет вид:

x³ + 5x² + 3x - 9 = 5x + 15

Перенесем все члены в левую часть:

x³ + 5x² + 3x - 5x - 24 = 0

x³ + 5x² - 2x - 24 = 0

Далее, попробуем найти рациональные корни уравнения с помощью метода проб и ошибок, либо применим метод Ньютона или другие методы численного решения уравнений.

x = -3