{Х-у=2 {ху=15 это одна система решите умоляю)))

Рассмотрим систему уравнений:

1. ( x - y = 2 ) (уравнение 1)
2. ( xy = 15 ) (уравнение 2)

Наша задача — решить эту систему уравнений.

Шаг 1: Выразим одну переменную через другую

Из уравнения 1 можно выразить ( y ):

[ y = x - 2 ]

Шаг 2: Подставим найденное значение в уравнение 2

Теперь подставим ( y ) в уравнение 2:

[ x(x - 2) = 15 ]

Шаг 3: Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду

Раскроем скобки:

[ x^2 - 2x = 15 ]

Переносим 15 на левую сторону:

[ x^2 - 2x - 15 = 0 ]

Шаг 4: Решим квадратное уравнение

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант ( D ):

[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 ]

Так как дискриминант положительный, у уравнения два различных корня.

Находим корни по формуле:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 8}{2} ]

Шаг 5: Найдем корни

1. Первый корень:

[ x_1 = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5 ]

1. Второй корень:

[ x_2 = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3 ]

Шаг 6: Найдем соответствующие значения ( y )

Теперь подставим найденные значения ( x ) обратно в уравнение ( y = x - 2 ).

1. Для ( x_1 = 5 ):

[ y_1 = 5 - 2 = 3 ]

1. Для ( x_2 = -3 ):

[ y_2 = -3 - 2 = -5 ]

Шаг 7: Запишем решения системы

Таким образом, мы получили два решения для нашей системы:

1. ( (x_1, y_1) = (5, 3) )
2. ( (x_2, y_2) = (-3, -5) )

Проверка

Теперь проверим оба решения в исходных уравнениях:

Для ( (5, 3) ):

1. ( x - y = 5 - 3 = 2 ) (верно)
2. ( xy = 5 \cdot 3 = 15 ) (верно)

Для ( (-3, -5) ):

1. ( x - y = -3 - (-5) = -3 + 5 = 2 ) (верно)
2. ( xy = -3 \cdot (-5) = 15 ) (верно)

Оба решения удовлетворяют условиям системы.

Ответ

Решения системы уравнений:

1. ( (x, y) = (5, 3) )
2. ( (x, y) = (-3, -5) )

Рассмотрим систему уравнений:

[ \begin{cases} x - y = 2 \quad \text{(1)} \ x \cdot y = 15 \quad \text{(2)} \end{cases} ]

Наша цель — найти (x) и (y).

Шаг 1. Выразим одну переменную через другую

Из первого уравнения (x - y = 2) выразим (x) через (y): [ x = y + 2. \quad \text{(3)} ]

Шаг 2. Подставим выражение для (x) в уравнение (2)

Подставляем (x = y + 2) в уравнение (x \cdot y = 15): [ (y + 2) \cdot y = 15. ]

Раскроем скобки: [ y^2 + 2y = 15. ]

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения: [ y^2 + 2y - 15 = 0. \quad \text{(4)} ]

Шаг 3. Решим квадратное уравнение

Для решения квадратного уравнения (y^2 + 2y - 15 = 0) воспользуемся дискриминантом: [ D = b^2 - 4ac, ] где (a = 1), (b = 2), (c = -15). Подставляем значения: [ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64. ]

Корень дискриминанта: [ \sqrt{D} = \sqrt{64} = 8. ]

Теперь найдем корни уравнения по формуле: [ y{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. ] Подставляем значения: [ y{1,2} = \frac{-2 \pm 8}{2}. ]

Считаем оба корня: [ y_1 = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3, ] [ y_2 = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5. ]

Шаг 4. Найдем значения (x)

Теперь для каждого значения (y) подставим его в уравнение (3), чтобы найти соответствующее (x).

1. Если (y = 3), то: [ x = y + 2 = 3 + 2 = 5. ]

2. Если (y = -5), то: [ x = y + 2 = -5 + 2 = -3. ]

Шаг 5. Ответ

Решением системы являются два набора: [ (x, y) = (5, 3) \quad \text{или} \quad (x, y) = (-3, -5). ]

Проверим оба решения:

1. Для ((x, y) = (5, 3)):

   • (x - y = 5 - 3 = 2) (верно),
   • (x \cdot y = 5 \cdot 3 = 15) (верно).

2. Для ((x, y) = (-3, -5)):

   • (x - y = -3 - (-5) = -3 + 5 = 2) (верно),
   • (x \cdot y = (-3) \cdot (-5) = 15) (верно).

Оба решения удовлетворяют системе.

Окончательный ответ: [ (x, y) = (5, 3) \quad \text{или} \quad (x, y) = (-3, -5). ]

Решим систему уравнений:

1) ( x - y = 2 )
2) ( xy = 15 )

Из первого уравнения выразим ( x ):
( x = y + 2 )

Подставим это выражение во второе уравнение:
( (y + 2)y = 15 )
( y^2 + 2y - 15 = 0 )

Решим квадратное уравнение:
( (y - 3)(y + 5) = 0 )

Получаем ( y = 3 ) или ( y = -5 ).

Теперь найдем соответствующие значения ( x ):
1) Если ( y = 3 ), то ( x = 3 + 2 = 5 ).
2) Если ( y = -5 ), то ( x = -5 + 2 = -3 ).

Таким образом, решения системы:
1) ( (x, y) = (5, 3) )
2) ( (x, y) = (-3, -5) )