(Корень 3 степени из 3)^2х*(корень 3 степени из 9)^2х=243

Для решения уравнения ((\sqrt[3]{3})^{2x} \cdot (\sqrt[3]{9})^{2x} = 243) сначала упростим выражения.

(\sqrt[3]{3} = 3^{1/3}) и (\sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{3^2} = 3^{2/3}).

Подставим это в уравнение:

[ (3^{1/3})^{2x} \cdot (3^{2/3})^{2x} = 243 ]

Упростим:

[ 3^{(1/3) \cdot 2x} \cdot 3^{(2/3) \cdot 2x} = 3^{(2x/3) + (4x/3)} = 3^{2x} ]

Теперь у нас есть:

[ 3^{2x} = 243 ]

Поскольку (243 = 3^5), получаем:

[ 2x = 5 \implies x = \frac{5}{2} ]

Ответ: (x = \frac{5}{2}).

Разберем уравнение ((\sqrt[3]{3})^{2x} \cdot (\sqrt[3]{9})^{2x} = 243), шаг за шагом.

Шаг 1: Преобразование корней в степени

Корень (n)-й степени из числа (a) можно записать как (a^{1/n}). Применим это правило:

1. (\sqrt[3]{3} = 3^{1/3}), следовательно, ((\sqrt[3]{3})^{2x} = (3^{1/3})^{2x} = 3^{(2x/3)}).
2. (\sqrt[3]{9} = 9^{1/3}), следовательно, ((\sqrt[3]{9})^{2x} = (9^{1/3})^{2x} = 9^{(2x/3)}).

Шаг 2: Преобразование (9) через (3)

Число (9) можно записать как (3^2). Тогда (9^{(2x/3)}) можно преобразовать:

[ 9^{(2x/3)} = (3^2)^{(2x/3)} = 3^{(4x/3)}. ]

Теперь уравнение принимает вид:

[ 3^{(2x/3)} \cdot 3^{(4x/3)} = 243. ]

Шаг 3: Сложение показателей степеней

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: [ 3^{(2x/3)} \cdot 3^{(4x/3)} = 3^{(2x/3 + 4x/3)} = 3^{(6x/3)} = 3^{2x}. ]

Теперь уравнение выглядит так: [ 3^{2x} = 243. ]

Шаг 4: Представление (243) как степень числа (3)

Число (243) можно представить как (3^5), то есть: [ 3^{2x} = 3^5. ]

Шаг 5: Сравнение показателей степеней

Так как основания одинаковы, то равны и показатели: [ 2x = 5. ]

Шаг 6: Решение уравнения для (x)

Разделим обе стороны на (2): [ x = \frac{5}{2}. ]

Ответ:

Решением уравнения является: [ x = \frac{5}{2} \text{ или } x = 2.5. ]

Чтобы решить уравнение ((\sqrt[3]{3})^{2x} \cdot (\sqrt[3]{9})^{2x} = 243), сначала упростим его.

1. Выразим (\sqrt[3]{3}) и (\sqrt[3]{9}) через степени:

   • (\sqrt[3]{3} = 3^{1/3})
   • (\sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{3^2} = 3^{2/3})

2. Подставим эти выражения в уравнение: [ (3^{1/3})^{2x} \cdot (3^{2/3})^{2x} = 243 ]

3. Упростим левую часть: [ 3^{(1/3) \cdot 2x} \cdot 3^{(2/3) \cdot 2x} = 3^{(2x/3) + (4x/3)} = 3^{6x/3} = 3^{2x} ]

Теперь у нас есть: [ 3^{2x} = 243 ]

1. Выразим 243 через степень 3: [ 243 = 3^5 ]

2. Теперь у нас есть равенство: [ 3^{2x} = 3^5 ]

3. Поскольку основания равны, можно приравнять показатели: [ 2x = 5 ]

4. Разделим обе стороны на 2: [ x = \frac{5}{2} = 2.5 ]

Таким образом, решение уравнения: [ \boxed{2.5} ]