Кубический корень из ab^2/с умножить на кубический корень из a^5b/с^2

Для умножения кубических корней из выражений ab^2/c и a^5b/c^2 сначала выразим каждое выражение в виде степеней: 1) ab^2/c = a^1 b^2 c^(-1) 2) a^5b/c^2 = a^5 b^1 c^(-2)

Теперь умножим степени: a^1 a^5 = a^(1+5) = a^6 b^2 b^1 = b^(2+1) = b^3 c^(-1) * c^(-2) = c^(-1-2) = c^(-3)

Получаем, что кубический корень из ab^2/c умножить на кубический корень из a^5b/c^2 равно кубическому корню из a^6b^3/c^3, то есть:

∛(ab^2/c) * ∛(a^5b/c^2) = ∛(a^6b^3/c^3) = a^2b/c

Ответ: a^2b/c

Для решения данного вопроса, мы будем использовать свойства корней и умножения.

Даны два выражения под кубическими корнями:

1. (\sqrt[3]{\frac{ab^2}{c}})
2. (\sqrt[3]{\frac{a^5b}{c^2}})

Наша задача — перемножить эти два кубических корня:

[ \sqrt[3]{\frac{ab^2}{c}} \times \sqrt[3]{\frac{a^5b}{c^2}} ]

Согласно свойству корней, произведение корней равно корню из произведения:

[ \sqrt[3]{\frac{ab^2}{c} \times \frac{a^5b}{c^2}} = \sqrt[3]{\frac{a \cdot b^2}{c} \times \frac{a^5 \cdot b}{c^2}} ]

Теперь перемножим числители и знаменатели:

[ = \sqrt[3]{\frac{a \cdot a^5 \cdot b^2 \cdot b}{c \cdot c^2}} ]

Упростим выражение в числителе и знаменателе:

• Для числителя: (a \cdot a^5 = a^{1+5} = a^6) и (b^2 \cdot b = b^{2+1} = b^3)
• Для знаменателя: (c \cdot c^2 = c^{1+2} = c^3)

Таким образом, выражение становится:

[ = \sqrt[3]{\frac{a^6 \cdot b^3}{c^3}} ]

Теперь можно извлечь кубический корень:

[ = \frac{\sqrt[3]{a^6} \cdot \sqrt[3]{b^3}}{\sqrt[3]{c^3}} ]

• (\sqrt[3]{a^6} = (a^6)^{1/3} = a^{6/3} = a^2)
• (\sqrt[3]{b^3} = (b^3)^{1/3} = b^{3/3} = b)
• (\sqrt[3]{c^3} = (c^3)^{1/3} = c^{3/3} = c)

Таким образом, итоговое упрощённое выражение:

[ = \frac{a^2 \cdot b}{c} ]

Ответ: (\frac{a^2b}{c}).