Lim 2х^3+х+1/3х^3+х^2+1 X-бесконечность Помогите пожалуйста

Для нахождения предела данной функции при x стремящемся к бесконечности, мы можем применить правило Лопиталя. Для этого необходимо взять производную числителя и знаменателя и вычислить предел этого отношения.

lim (2x^3 + x + 1) / (3x^3 + x^2 + 1) при x -> ∞

Производная числителя: 6x^2 + 1 Производная знаменателя: 9x^2 + 2x

Теперь вычислим предел отношения производных:

lim (6x^2 + 1) / (9x^2 + 2x) при x -> ∞

После подстановки x=∞ в числитель и знаменатель мы получаем бесконечное значение. Значит, исходный предел равен бесконечности.

Чтобы найти предел функции (\lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 + x + 1}{3x^3 + x^2 + 1}), нужно проанализировать поведение числителя и знаменателя при (x \to \infty).

1. Степени многочленов:

   • В числителе наибольшая степень (x) равна 3, и соответствующий член — (2x^3).
   • В знаменателе наибольшая степень (x) также равна 3, и соответствующий член — (3x^3).

2. Нормализация функции:

   • Для удобства анализа можно поделить все члены числителя и знаменателя на (x^3), самую высокую степень:

[ \frac{2x^3 + x + 1}{3x^3 + x^2 + 1} = \frac{\frac{2x^3}{x^3} + \frac{x}{x^3} + \frac{1}{x^3}}{\frac{3x^3}{x^3} + \frac{x^2}{x^3} + \frac{1}{x^3}} ]

1. Упрощение выражения:
   • После деления получаем:

[ \frac{2 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3}}{3 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^3}} ]

1. Предел при (x \to \infty):
   • При (x \to \infty), (\frac{1}{x^2} \to 0), (\frac{1}{x} \to 0), и (\frac{1}{x^3} \to 0).
   • Поэтому выражение упрощается до:

[ \frac{2 + 0 + 0}{3 + 0 + 0} = \frac{2}{3} ]

Таким образом, предел функции при (x \to \infty) равен (\frac{2}{3}).

Ответ: (\lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 + x + 1}{3x^3 + x^2 + 1} = \frac{2}{3}).