Лодка прошла 10 км по течению реки, а затем 4км против течения, затратив на весь путь 1 час 40 минут....

Для решения данной задачи воспользуемся формулой времени: время = расстояние / скорость.

Пусть скорость течения реки равна V км/ч. Тогда время, затраченное на прохождение 10 км по течению реки, будет равно 10 / (8 + V) часов. А время, затраченное на прохождение 4 км против течения, будет равно 4 / (8 - V) часов.

Из условия задачи известно, что общее время пути равно 1 часу 40 минутам, что равно 5/3 часа. Составляем уравнение: 10 / (8 + V) + 4 / (8 - V) = 5/3.

Решая это уравнение, получим значение скорости течения реки V = 2 км/ч.

Итак, скорость течения реки равна 2 км/ч.

Для решения задачи давайте введем следующие обозначения:

• ( v ) - собственная скорость лодки (8 км/ч),
• ( u ) - скорость течения реки (км/ч),
• ( t_1 ) - время движения лодки по течению,
• ( t_2 ) - время движения лодки против течения.

Итак, лодка прошла 10 км по течению и 4 км против течения, затратив на это 1 час 40 минут. Переведем время в часы:

[ 1 \text{ час } 40 \text{ минут } = 1 + \frac{40}{60} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3} \text{ часа}. ]

Теперь запишем уравнения для времени движения по течению и против течения.

1. Время движения по течению:

[ t_1 = \frac{10}{v + u} ]

1. Время движения против течения:

[ t_2 = \frac{4}{v - u} ]

Суммарное время движения:

[ t_1 + t_2 = \frac{5}{3} ]

Подставим выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ):

[ \frac{10}{v + u} + \frac{4}{v - u} = \frac{5}{3} ]

Подставим значение ( v = 8 ) км/ч:

[ \frac{10}{8 + u} + \frac{4}{8 - u} = \frac{5}{3} ]

Теперь решим это уравнение. Найдем общий знаменатель:

[ \frac{10 (8 - u) + 4 (8 + u)}{(8 + u)(8 - u)} = \frac{5}{3} ]

Упростим числитель:

[ 10 (8 - u) + 4 (8 + u) = 80 - 10u + 32 + 4u = 112 - 6u ]

Знаменатель:

[ (8 + u)(8 - u) = 64 - u^2 ]

Получаем уравнение:

[ \frac{112 - 6u}{64 - u^2} = \frac{5}{3} ]

Решим это уравнение методом пропорций:

[ 3 (112 - 6u) = 5 (64 - u^2) ]

Раскроем скобки:

[ 336 - 18u = 320 - 5u^2 ]

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

[ 5u^2 - 18u + 336 - 320 = 0 ]

Упростим:

[ 5u^2 - 18u + 16 = 0 ]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта ( D ):

[ D = b^2 - 4ac ]

Где ( a = 5 ), ( b = -18 ), ( c = 16 ):

[ D = (-18)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 16 = 324 - 320 = 4 ]

Корни квадратного уравнения находятся по формуле:

[ u_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

[ u_{1,2} = \frac{18 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{18 \pm 2}{10} ]

Вычислим корни:

[ u_1 = \frac{18 + 2}{10} = \frac{20}{10} = 2 ]

[ u_2 = \frac{18 - 2}{10} = \frac{16}{10} = 1.6 ]

Таким образом, скорость течения реки может быть либо 2 км/ч, либо 1.6 км/ч.