Log2 (x^2 - 14x) = 5

Чтобы решить уравнение ( \log_2(x^2 - 14x) = 5 ), нужно следовать нескольким шагам:

1. Понимание уравнения: У нас есть логарифмическое уравнение с основанием 2. Это уравнение говорит о том, что ( x^2 - 14x ) — это такое число, логарифм которого по основанию 2 равен 5.

2. Преобразование логарифмического уравнения в показательное: [ \log_2(x^2 - 14x) = 5 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 14x = 2^5 ] Поскольку ( 2^5 = 32 ), уравнение упрощается до: [ x^2 - 14x = 32 ]

3. Приведение уравнения к стандартной форме квадратного уравнения: [ x^2 - 14x - 32 = 0 ]

4. Решение квадратного уравнения: Для решения квадратного уравнения будем использовать формулу для нахождения корней: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где ( a = 1 ), ( b = -14 ), ( c = -32 ).

   Подставим значения в формулу: [ x = \frac{-(-14) \pm \sqrt{(-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32)}}{2 \cdot 1} ] [ x = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 128}}{2} ] [ x = \frac{14 \pm \sqrt{324}}{2} ] [ x = \frac{14 \pm 18}{2} ]

   Теперь найдем два возможных значения для ( x ): [ x_1 = \frac{14 + 18}{2} = \frac{32}{2} = 16 ] [ x_2 = \frac{14 - 18}{2} = \frac{-4}{2} = -2 ]

5. Проверка корней: Проверим, подходят ли оба значения для ( x ) в исходное уравнение.

   • Для ( x = 16 ): [ x^2 - 14x = 16^2 - 14 \times 16 = 256 - 224 = 32 ] [ \log_2(32) = 5 \quad \text{(верно)} ]

   • Для ( x = -2 ): [ x^2 - 14x = (-2)^2 - 14 \times (-2) = 4 + 28 = 32 ] [ \log_2(32) = 5 \quad \text{(верно)} ]

Оба значения ( x = 16 ) и ( x = -2 ) являются решениями уравнения ( \log_2(x^2 - 14x) = 5 ).

Для решения данного уравнения сначала преобразуем его к экспоненциальному виду. Используя определение логарифма, получаем: 2^5 = x^2 - 14x. Решим полученное квадратное уравнение: 32 = x^2 - 14x. Перенесем все члены в левую часть: x^2 - 14x - 32 = 0. Далее решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта: D = 14^2 - 41(-32) = 196 + 128 = 324. Так как D > 0, то уравнение имеет два корня: x1 = (14 + √324) / 2 = (14 + 18) / 2 = 16 и x2 = (14 - √324) / 2 = (14 - 18) / 2 = -2. Получаем, что уравнение log2 (x^2 - 14x) = 5 имеет два решения: x1 = 16 и x2 = -2.

x^2 - 14x = 2^5 x^2 - 14x = 32 x^2 - 14x - 32 = 0 (x - 16)(x + 2) = 0 x = 16 or x = -2