Log2(x^2-3x+10)=3 решить уравнения

Для решения данного уравнения сначала применим свойство логарифмов, которое позволяет вынести показатель степени перед логарифмом как множитель внутри логарифма. Таким образом, уравнение примет вид:

2^3 = x^2 - 3x + 10

8 = x^2 - 3x + 10

Затем приведем уравнение к каноническому виду:

x^2 - 3x + 2 = 0

Далее решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-3)^2 - 412 = 9 - 8 = 1

x1,2 = (3 ± √1) / 2*1

x1 = (3 + 1) / 2 = 4 / 2 = 2

x2 = (3 - 1) / 2 = 2 / 2 = 1

Таким образом, уравнение Log2(x^2-3x+10)=3 имеет два корня: x1 = 2 и x2 = 1.

Чтобы решить уравнение (\log_2(x^2 - 3x + 10) = 3), нужно понять, что оно представляет собой логарифмическое уравнение. Это уравнение можно преобразовать, используя определение логарифма.

1. Преобразование уравнения:

   Уравнение (\log_2(x^2 - 3x + 10) = 3) можно переписать в экспоненциальной форме: [ x^2 - 3x + 10 = 2^3 ]

   Поскольку (2^3 = 8), уравнение становится: [ x^2 - 3x + 10 = 8 ]

2. Решение квадратного уравнения:

   Теперь нам нужно решить квадратное уравнение: [ x^2 - 3x + 10 - 8 = 0 ] или, упростив: [ x^2 - 3x + 2 = 0 ]

   Это квадратное уравнение можно решить с помощью формулы для корней квадратного уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где (a = 1), (b = -3), (c = 2).

3. Нахождение дискриминанта:

   Сначала вычислим дискриминант (D): [ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 ]

   Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два вещественных корня.

4. Вычисление корней:

   Теперь подставим значения в формулу: [ x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 1}{2} ]

   Это дает нам два решения: [ x_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2 ] [ x_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1 ]

5. Проверка условий:

   Для логарифмического уравнения необходимо проверить, что аргумент логарифма положителен для найденных корней:

   • Для (x = 2): (x^2 - 3x + 10 = 4 - 6 + 10 = 8 > 0). Условие выполняется.
   • Для (x = 1): (x^2 - 3x + 10 = 1 - 3 + 10 = 8 > 0). Условие выполняется.

Оба решения удовлетворяют условию положительности аргумента логарифма. Таким образом, решения уравнения: [ x = 2 \quad \text{и} \quad x = 1 ]