Log3 (x^2+3x-7)=1 помогите решить

Для решения уравнения (\log_3 (x^2 + 3x - 7) = 1) следуем следующим шагам:

1. Преобразуем логарифмическое уравнение в экспоненциальное:

   По определению логарифма, если (\log_b a = c), то (a = b^c). В нашем случае (b = 3), (a = x^2 + 3x - 7), и (c = 1).

   Значит, (\log_3 (x^2 + 3x - 7) = 1) можно переписать как: [ x^2 + 3x - 7 = 3^1 ] Поскольку (3^1 = 3), получаем: [ x^2 + 3x - 7 = 3 ]

2. Решаем полученное квадратное уравнение:

   Приводим уравнение к стандартному виду (ax^2 + bx + c = 0): [ x^2 + 3x - 7 - 3 = 0 ] [ x^2 + 3x - 10 = 0 ]

   Это квадратное уравнение можно решить с помощью формулы для корней квадратного уравнения: [ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} ] где (a = 1), (b = 3), (c = -10).

3. Находим дискриминант:

   [ D = b^2 - 4ac ] [ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) ] [ D = 9 + 40 ] [ D = 49 ]

4. Вычисляем корни уравнения:

   Подставляем значения (a), (b) и (D) в формулу для корней: [ x = \frac{{-3 \pm \sqrt{49}}}{2 \cdot 1} ] [ x = \frac{{-3 \pm 7}}{2} ]

   Получаем два корня:

   [ x_1 = \frac{{-3 + 7}}{2} = \frac{4}{2} = 2 ] [ x_2 = \frac{{-3 - 7}}{2} = \frac{-10}{2} = -5 ]

5. Проверяем корни на допустимость:

   Убедимся, что оба найденных значения (x) приводят к допустимым значениям аргумента логарифма (он должен быть положительным):

   [ x^2 + 3x - 7 > 0 ]

   • Для (x = 2): [ 2^2 + 3 \cdot 2 - 7 = 4 + 6 - 7 = 3 ] (3 > 0) - условие выполняется.

   • Для (x = -5): [ (-5)^2 + 3 \cdot (-5) - 7 = 25 - 15 - 7 = 3 ] (3 > 0) - условие выполняется.

Оба корня удовлетворяют условию логарифма, поэтому решения уравнения:

[ x = 2 \quad \text{и} \quad x = -5 ]

Для решения данного уравнения сначала перепишем его в экспоненциальной форме:

3^1 = x^2 + 3x - 7

Упростим выражение:

3 = x^2 + 3x - 7

Теперь приведем уравнение к квадратному виду:

x^2 + 3x - 4 = 0

Далее решим квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 3^2 - 41(-4) = 9 + 16 = 25

x1,2 = (-b ± √D) / 2a

x1 = (-3 + √25) / 2 = (-3 + 5) / 2 = 2 / 2 = 1

x2 = (-3 - √25) / 2 = (-3 - 5) / 2 = -8 / 2 = -4

Таким образом, уравнение Log3 (x^2+3x-7)=1 имеет два решения: x = 1 и x = -4.