Log4(x3-x)-log4x=log4^3

Разберём уравнение ( \log_4(x^3 - x) - \log_4(x) = \log_4(3) ) подробно.

Шаг 1. Применение свойства логарифмов

Напомним, что разность логарифмов с одинаковым основанием сводится к логарифму частного: [ \log_a(b) - \log_a(c) = \log_a\left(\frac{b}{c}\right). ] Применим это свойство к левой части уравнения: [ \log_4(x^3 - x) - \log_4(x) = \log_4\left(\frac{x^3 - x}{x}\right). ] Таким образом, уравнение переписывается как: [ \log_4\left(\frac{x^3 - x}{x}\right) = \log_4(3). ]

Шаг 2. Убираем логарифмы

Если логарифмы с одинаковым основанием равны, то равны и их аргументы. То есть: [ \frac{x^3 - x}{x} = 3. ]

Шаг 3. Упрощение дроби

Упростим выражение ( \frac{x^3 - x}{x} ). Разделим числитель на знаменатель: [ \frac{x^3 - x}{x} = x^2 - 1. ] Подставляем это обратно в уравнение: [ x^2 - 1 = 3. ]

Шаг 4. Решение уравнения

Решим полученное квадратное уравнение: [ x^2 - 1 = 3 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 4. ] Извлечём квадратный корень из обеих частей: [ x = \pm 2. ]

Шаг 5. Проверка области допустимых значений (ОДЗ)

Поскольку в логарифме аргумент должен быть положительным ((x > 0)), а также аргумент (x^3 - x) также должен быть положительным, проверим оба решения:

1. (x = 2): Подставим в (x^3 - x = 2^3 - 2 = 6 > 0). Условие выполняется.
2. (x = -2): Не подходит, так как (x < 0), а логарифм от отрицательного числа не определён.

Итог

Единственное решение: [ \boxed{x = 2} ]

Давайте решим уравнение ( \log_4(x^3 - x) - \log_4(x) = \log_4(3) ).

Сначала воспользуемся свойством логарифмов, которое гласит, что ( \log_a(b) - \log_a(c) = \log_a\left(\frac{b}{c}\right) ). Применим это свойство к нашему уравнению:

[ \log_4\left(\frac{x^3 - x}{x}\right) = \log_4(3) ]

Теперь упростим дробь в логарифме:

[ \frac{x^3 - x}{x} = x^2 - 1 ]

Таким образом, уравнение принимает вид:

[ \log_4(x^2 - 1) = \log_4(3) ]

Если логарифмы равны, то их аргументы также равны, при условии, что оба аргумента положительны. То есть:

[ x^2 - 1 = 3 ]

Теперь решим это уравнение:

[ x^2 = 4 ] [ x = 2 \quad \text{или} \quad x = -2 ]

Однако, нам нужно проверить, что оба значения ( x ) удовлетворяют условию положительности аргументов логарифмов.

Для ( x = 2 ):

• ( x^3 - x = 2^3 - 2 = 8 - 2 = 6 ) (положительное)
• ( x = 2 ) (положительное)

Для ( x = -2 ):

• ( x^3 - x = (-2)^3 - (-2) = -8 + 2 = -6 ) (отрицательное)
• ( x = -2 ) (отрицательное)

Так как логарифмы определены только для положительных аргументов, значение ( x = -2 ) не подходит.

Таким образом, единственным решением уравнения является:

[ \boxed{2} ]