Log7(x^2-12x+36)=0 объясните ,как его решать?)

Для начала преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов. Так как log7(1) = 0, то мы можем записать данное уравнение в виде:

x^2 - 12x + 36 = 7^0 x^2 - 12x + 36 = 1

Теперь приведем уравнение к квадратному виду, выделив полный квадрат:

(x - 6)^2 = 1

Теперь извлечем квадратный корень из обеих сторон уравнения:

x - 6 = ±1 x = 6 ± 1

Итак, получаем два решения уравнения: x = 7 и x = 5.

Конечно, давайте разберем, как решить уравнение (\log_7(x^2 - 12x + 36) = 0).

1. Понимание логарифмического уравнения: Уравнение (\log_7(y) = 0) означает, что (y = 7^0). А так как (7^0 = 1), то у нас получается: [ x^2 - 12x + 36 = 1 ]

2. Решение квадратного уравнения: Теперь нужно решить квадратное уравнение: [ x^2 - 12x + 36 = 1 ]

   Переносим 1 на левую сторону: [ x^2 - 12x + 36 - 1 = 0 ] Упрощаем: [ x^2 - 12x + 35 = 0 ]

3. Раскладывание на множители: Ищем корни квадратного уравнения (x^2 - 12x + 35 = 0). Для этого можно воспользоваться разложением на множители, подбирая такие числа (a) и (b), что (a \cdot b = 35) и (a + b = -12).

   В данном случае числа (a) и (b) будут -5 и -7, так как: [ (-5) \cdot (-7) = 35 \quad \text{и} \quad (-5) + (-7) = -12 ]

   Следовательно, уравнение можно записать в виде: [ (x - 5)(x - 7) = 0 ]

4. Нахождение корней: Теперь решаем каждое из уравнений: [ x - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 5 ] [ x - 7 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 7 ]

5. Проверка корней: Убедимся, что оба корня удовлетворяют исходному логарифмическому уравнению. Подставляем значения (x = 5) и (x = 7) обратно в выражение (x^2 - 12x + 36):

   • Для (x = 5): [ 5^2 - 12 \cdot 5 + 36 = 25 - 60 + 36 = 1 ]
   • Для (x = 7): [ 7^2 - 12 \cdot 7 + 36 = 49 - 84 + 36 = 1 ]

   В обоих случаях (\log_7(1) = 0), что подтверждает правильность решения.

Таким образом, решение уравнения (\log_7(x^2 - 12x + 36) = 0) приводит к двум корням: [ x = 5 \quad \text{и} \quad x = 7 ]