Мальчик 6 раз стреляет из рогатки. Вероятность попадания при одном выстреле 0,6. Найдите вероятность...

Чтобы найти вероятность того, что мальчик попал 3 раза и промахнулся 3 раза из 6 выстрелов, мы используем биномиальное распределение. Биномиальное распределение описывает число успешных исходов в серии независимых испытаний, каждое из которых имеет два возможных исхода: успех с вероятностью ( p ) и неуспех с вероятностью ( 1-p ).

В данной задаче:

• Количество испытаний ( n = 6 ).
• Вероятность успеха (попадания) за одно испытание ( p = 0,6 ).
• Число успехов, которые нас интересуют, ( k = 3 ).

Формула для вычисления вероятности получения ровно ( k ) успехов в ( n ) испытаниях по биномиальному распределению выглядит следующим образом:

[ P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} ]

где ( C_n^k ) — биномиальный коэффициент, который рассчитывается по формуле:

[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} ]

Подставим наши значения в формулы:

1. Рассчитать биномиальный коэффициент ( C_6^3 ):

[ C_6^3 = \frac{6!}{3! \cdot (6-3)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20 ]

1. Вероятность попадания 3 раза и промаха 3 раза:

[ P(X = 3) = C_6^3 \cdot (0,6)^3 \cdot (1-0,6)^{6-3} ]

[ P(X = 3) = 20 \cdot (0,6)^3 \cdot (0,4)^3 ]

1. Рассчитать значения степеней:

[ (0,6)^3 = 0,216 ] [ (0,4)^3 = 0,064 ]

1. Подставить значения:

[ P(X = 3) = 20 \cdot 0,216 \cdot 0,064 ]

1. Выполнить окончательные вычисления:

[ P(X = 3) = 20 \cdot 0,013824 = 0,27648 ]

Таким образом, вероятность того, что мальчик попадет ровно 3 раза из 6 выстрелов, составляет 0,27648, или 27,648%.

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться формулой Бернулли. Пусть событие А - мальчик попал 3 раза, а событие B - мальчик промахнулся 3 раза. Тогда вероятность события А равна (0,6^3 \cdot 0,4^3), а вероятность события B равна (0,4^3 \cdot 0,6^3).

Суммируя вероятности событий A и B, получаем общую вероятность того, что мальчик попал 3 раза и промахнулся 3 раза: (0,6^3 \cdot 0,4^3 + 0,4^3 \cdot 0,6^3 = 0,31104).

Таким образом, вероятность того, что мальчик попал 3 раза и промахнулся 3 раза, равна 0,31104 или 31,104%.

Для решения этой задачи можно воспользоваться формулой биномиального распределения: P(k) = C(n, k) p^k (1-p)^(n-k), где n - общее количество выстрелов, p - вероятность попадания при одном выстреле, k - количество попаданий. В данном случае n=6, p=0.6, k=3. Подставляем значения: P(3) = C(6, 3) 0.6^3 (1-0.6)^(6-3) = 20 0.216 0.064 = 0.27648. Ответ: вероятность того, что мальчик попал 3 раза и промахнулся 3 раза равна 0.27648.