Мальчик спустился по движущемуся экскалатору метро и насчитал 45 ступенек. Затем он с той же скоростью...

Пусть количество ступенек на неподвижном экскалаторе равно Х. Так как при движении вниз мальчик насчитал 45 ступенек, то его скорость равна 45 ступенек/м. При движении вверх он насчитал 225 ступенек, что означает, что скорость движения вверх также равна 225 ступенек/м. Таким образом, время, которое мальчик затратил на спуск по неподвижному экскалатору равно X/45, а время, которое он затратил на подъем по неподвижному экскалатору равно X/225. Так как время спуска равно времени подъема, то получаем уравнение: X/45 = X/225. Решив это уравнение, получим X = 225. Значит, мальчик насчитал бы 225 ступенек, пройдя по неподвижному экскалатору.

Для решения этой задачи введем следующие обозначения:

• ( n ) — количество ступенек на неподвижном эскалаторе,
• ( v_m ) — скорость мальчика (в ступеньках в секунду),
• ( v_e ) — скорость эскалатора (в ступеньках в секунду).

Когда мальчик спускается по эскалатору, его общая скорость относительно неподвижного наблюдателя будет ( v_m + v_e ). Пусть ( t_1 ) — время, за которое он спустился по эскалатору. За это время он насчитал 45 ступенек, то есть:

[ 45 = v_m \cdot t_1 ]

На таком же временном промежутке эскалатор переместил ( v_e \cdot t_1 ) ступенек вниз. В итоге мальчик прошел все ступеньки эскалатора:

[ n = (v_m + v_e) \cdot t_1 ]

Когда мальчик поднимается вверх по эскалатору, его общая скорость относительно неподвижного наблюдателя будет ( v_m - v_e ). Пусть ( t_2 ) — время, за которое он поднялся по эскалатору. За это время он насчитал 225 ступенек, то есть:

[ 225 = v_m \cdot t_2 ]

На таком же временном промежутке эскалатор переместил ( v_e \cdot t_2 ) ступенек вверх. В итоге мальчик вновь прошел все ступеньки эскалатора:

[ n = (v_m - v_e) \cdot t_2 ]

Теперь у нас есть две системы уравнений:

1. ( n = (v_m + v_e) \cdot t_1 )
2. ( 45 = v_m \cdot t_1 )

и

1. ( n = (v_m - v_e) \cdot t_2 )
2. ( 225 = v_m \cdot t_2 )

Из уравнений (2) и (4) можно выразить ( t_1 ) и ( t_2 ):

[ t_1 = \frac{45}{v_m} ] [ t_2 = \frac{225}{v_m} ]

Подставим эти выражения в уравнения (1) и (3):

[ n = (v_m + v_e) \cdot \frac{45}{v_m} ] [ n = (v_m - v_e) \cdot \frac{225}{v_m} ]

Теперь упростим эти уравнения:

[ n = 45 + 45 \cdot \frac{v_e}{v_m} ] [ n = 225 - 225 \cdot \frac{v_e}{v_m} ]

Обозначим ( k = \frac{v_e}{v_m} ) и перепишем уравнения:

[ n = 45 + 45k ] [ n = 225 - 225k ]

Приравняем правые части этих уравнений:

[ 45 + 45k = 225 - 225k ]

Решим это уравнение для ( k ):

[ 45k + 225k = 225 - 45 ] [ 270k = 180 ] [ k = \frac{180}{270} = \frac{2}{3} ]

Теперь подставим ( k ) обратно в одно из уравнений для ( n ):

[ n = 45 + 45 \cdot \frac{2}{3} ] [ n = 45 + 30 ] [ n = 75 ]

Таким образом, количество ступенек на неподвижном эскалаторе равно 75.