Моторная лодка прошла 36 км по течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь 5 часов. Скорость...

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна V км/ч.

Тогда скорость лодки по течению реки будет равна V + 3 км/ч, а против течения реки - V - 3 км/ч.

По формуле времени пути, время туда и обратно равно 5 часам, то есть:

36 / (V + 3) + 36 / (V - 3) = 5.

Умножаем обе части уравнения на (V + 3)(V - 3), раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

36(V - 3) + 36(V + 3) = 5(V + 3)(V - 3).

Раскрываем скобки:

36V - 108 + 36V + 108 = 5(V^2 - 9).

Складываем числа и приводим подобные слагаемые:

72V = 5V^2 - 45.

Получаем квадратное уравнение:

5V^2 - 72V - 45 = 0.

Решаем уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-72)^2 - 45(-45) = 5184 + 900 = 6084.

V = (72 ± √6084) / (2*5) = (72 ± 78) / 10.

V1 = (72 + 78) / 10 = 15 км/ч (скорость лодки в неподвижной воде), V2 = (72 - 78) / 10 = -6 км/ч.

Так как скорость не может быть отрицательной, то скорость лодки в неподвижной воде равна 15 км/ч.

Скорость лодки в неподвижной воде равна 9 км/ч.

Для решения этой задачи введем следующие обозначения: ( v ) — скорость лодки в стоячей воде (км/ч), ( u ) — скорость течения реки (км/ч). По условию задачи ( u = 3 ) км/ч.

Когда лодка движется по течению реки, её скорость увеличивается на скорость течения, то есть составляет ( v + u ) км/ч. Когда лодка движется против течения, её скорость уменьшается на скорость течения, то есть составляет ( v - u ) км/ч.

Пусть ( t_1 ) — время движения по течению, а ( t_2 ) — время движения против течения. Тогда согласно условию задачи: [ t_1 + t_2 = 5 \text{ часов} ]

Расстояние, пройденное по течению и против течения одинаково и равно 36 км, тогда: [ (v + u) t_1 = 36 ] [ (v - u) t_2 = 36 ]

Подставляем ( u = 3 ) км/ч: [ (v + 3) t_1 = 36 ] [ (v - 3) t_2 = 36 ]

Выразим ( t_1 ) и ( t_2 ) из этих уравнений: [ t_1 = \frac{36}{v + 3} ] [ t_2 = \frac{36}{v - 3} ]

Подставим эти выражения в уравнение ( t_1 + t_2 = 5 ): [ \frac{36}{v + 3} + \frac{36}{v - 3} = 5 ]

Приведем это уравнение к общему знаменателю: [ \frac{36(v - 3) + 36(v + 3)}{(v + 3)(v - 3)} = 5 ]

Раскроем скобки и упростим уравнение: [ \frac{36v - 108 + 36v + 108}{v^2 - 9} = 5 ] [ \frac{72v}{v^2 - 9} = 5 ]

Умножим обе стороны на ( v^2 - 9 ) и решим полученное квадратное уравнение: [ 72v = 5(v^2 - 9) ] [ 5v^2 - 72v - 45 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение: [ v^2 - \frac{72}{5}v - 9 = 0 ]

Применим формулу корней квадратного уравнения: [ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] [ v = \frac{72/5 \pm \sqrt{(72/5)^2 + 4 \cdot 9}}{2} ] [ v = \frac{72/5 \pm \sqrt{5184/25 + 180/5}}{2} ] [ v = \frac{72/5 \pm \sqrt{5184/25 + 900/25}}{2} ] [ v = \frac{72/5 \pm \sqrt{6084/25}}{2} ] [ v = \frac{72/5 \pm 78/5}{2} ]

Получаем два корня, один из которых будет физически осмыслен: [ v = \frac{150}{5} / 2 = 15 \text{ км/ч} ]

Таким образом, скорость лодки в стоячей воде равна 15 км/ч.