На числовой окружности взяты точки M(2п/3), N(п/4)/ Найдите все числа t, которым на данной окружности...

Для решения задачи сначала важно понять, как располагаются точки M и N на числовой окружности. Числовая окружность — это окружность с радиусом 1, где длина окружности равна (2\pi), и она используется для представления углов в радианах.

1. Нахождение положений точек M и N:

   • Точка (M\left(\frac{2\pi}{3}\right)) соответствует углу (120^\circ) на числовой окружности. Это примерно вторая четверть окружности.

   • Точка (N\left(\frac{\pi}{4}\right)) соответствует углу (45^\circ). Это первая четверть окружности.

2. Определение дуги MN:

   Чтобы определить, какие значения (t) соответствуют точкам на дуге MN, необходимо понять, в каком направлении мы движемся по окружности, чтобы попасть из точки M в точку N. Поскольку ( \frac{2\pi}{3} ) больше чем ( \frac{\pi}{4} ), дуга MN будет проходить в направлении против часовой стрелки, охватывая часть окружности через нижнюю половину.

3. Величина дуги:

   Дуга MN будет измеряться от ( \frac{2\pi}{3} ) до ( \frac{\pi}{4} + 2\pi ). То есть, чтобы обойтись полной окружностью и прийти в точку N, нужно прибавить полный оборот в (2\pi):

   [ \text{Длина дуги MN} = \left(\frac{\pi}{4} + 2\pi\right) - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{4} + 2\pi - \frac{2\pi}{3} ]

   Приведем дроби к общему знаменателю:

   [ = \frac{3\pi}{12} + \frac{24\pi}{12} - \frac{8\pi}{12} = \frac{19\pi}{12} ]

4. Числа (t), соответствующие дуге MN:

   Чтобы найти значения (t), соответствующие точкам на дуге MN, мы рассматриваем значения (t) в пределах:

   [ \frac{2\pi}{3} \leq t \leq \frac{\pi}{4} + 2\pi ]

   Это можно записать более общо как:

   [ \text{Для целого числа } k: \quad \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \leq t \leq \frac{\pi}{4} + 2\pi (k+1) ]

   где (k) — целое число, определяющее количество полных оборотов вокруг окружности.

5. Чертеж:

   На чертеже числовой окружности отметьте точку M на угле (120^\circ) и точку N на угле (405^\circ) (что эквивалентно (45^\circ + 360^\circ)). Дуга MN будет пролегать в направлении против часовой стрелки, начиная с точки M и заканчивая точкой N через нижнюю половину окружности.

Таким образом, все числа (t), принадлежащие дуге MN, находятся в интервале ( \left[\frac{2\pi}{3}, \frac{\pi}{4} + 2\pi\right] ) с учетом добавления (2\pi k) для целых (k).

Для того чтобы найти все числа t, которым на числовой окружности соответствуют точки, принадлежащие дуге MN, нужно найти все углы, которые лежат между углами 2π/3 и π/4.

Очевидно, что точка N (π/4) находится правее точки M (2π/3) на окружности. Таким образом, нужно найти все углы t, для которых выполняется условие π/4 < t < 2π/3.

Это можно записать как неравенство:

π/4 < t < 2π/3

Чтобы найти все числа t, удовлетворяющие этому неравенству, нужно найти их пересечение с интервалом (0, 2π), так как углы на числовой окружности задаются в интервале от 0 до 2π.

Давайте построим чертеж:

1. Рисуем числовую окружность.
2. Отмечаем точку M (2π/3) и точку N (π/4).
3. Находим все углы t, для которых выполняется условие π/4 < t < 2π/3.
4. Отмечаем на окружности все точки, соответствующие найденным углам t.

Таким образом, все числа t, которым на данной окружности соответствуют точки, принадлежащие дуге MN, будут лежать в интервале (π/4, 2π/3) и их можно найти пересечением этого интервала с интервалом (0, 2π).