На плоскости отметили несколько точек, никакие три из них не лежат на одной прямой. через каждые две...

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться комбинаторикой, а именно формулой для количества комбинаций без повторений.

Обозначим количество отмеченных точек через ( n ). По условию задачи, через каждые две точки проведена одна прямая. Значит, общее количество прямых, которые можно провести через эти точки, равно числу комбинаций из ( n ) по 2:

[ C(n, 2) = \frac{n (n - 1)}{2} ]

По условию, известно, что всего было проведено 28 прямых. Таким образом, у нас есть уравнение:

[ \frac{n (n - 1)}{2} = 28 ]

Решим это уравнение относительно ( n ):

1. Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

[ n (n - 1) = 56 ]

1. Перенесем все члены в одну сторону уравнения:

[ n^2 - n - 56 = 0 ]

1. Решим квадратное уравнение ( n^2 - n - 56 = 0 ) с помощью дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225 ]

1. Найдем корни квадратного уравнения:

[ n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{1 \pm 15}{2} ]

Получаем два корня:

[ n = \frac{1 + 15}{2} = 8 ]

[ n = \frac{1 - 15}{2} = -7 ]

Так как количество точек не может быть отрицательным, следовательно, ( n = 8 ).

Ответ: на плоскости было отмечено 8 точек.

Для решения этой задачи можно воспользоваться формулой сочетаний. Пусть количество точек, отмеченных на плоскости, равно n. Тогда количество возможных комбинаций пар точек, через которые проведена прямая, можно выразить следующим образом:

C(n, 2) = n! / (2!(n-2)!) = n * (n-1) / 2

Так как каждая из 28 прямых проходит через каждую из возможных комбинаций пар точек, то мы можем записать уравнение:

28 = n * (n-1) / 2

Решив это уравнение, мы найдем, что n = 9. Таким образом, на плоскости было отмечено 9 точек.