На пробном экзамене поматематике в форме ЕГЭ учащиеся получили следующие оезультаты по 100–бальной шкале:...

А) Для построения графика распределения данных нужно отложить на оси абсцисс результаты экзаменов, а на оси ординат - количество учащихся, получивших соответствующий результат. После этого соединить точки линиями, чтобы получить график распределения данных.

Для построения графика распределения частот нужно отложить на оси абсцисс результаты экзаменов, а на оси ординат - частоту, с которой встречается данный результат. После этого соединить точки линиями, чтобы получить график распределения частот.

Б) Размах - это разница между наибольшим и наименьшим значениями выборки. В данном случае размах равен 75 - 34 = 41.

Мода - это значение, которое встречается наиболее часто в выборке. В данном случае мода равна 49, так как это значение встречается три раза, в то время как остальные значения встречаются меньшее количество раз.

Среднее значение - это сумма всех значений выборки, деленная на их количество. В данном случае среднее значение равно (49+43+42+39+34+49+44+49+53+53+44+68+43+53+52+64+68+71+53+68+52+49+75) / 23 = 52.78.

Рассмотрим поэтапно решение задачи.

А) Построение графиков распределения данных и распределения частот

1. График распределения данных (гистограмма): Для построения гистограммы распределения данных, нужно сначала сгруппировать данные в интервалы. Например, можно выбрать интервалы по 10 баллов:

   • 30–39
   • 40–49
   • 50–59
   • 60–69
   • 70–79

   Затем посчитаем количество учащихся в каждом интервале:

   • 30–39: 3 учащихся (34, 39)
   • 40–49: 7 учащихся (42, 43, 43, 44, 44, 49, 49, 49)
   • 50–59: 6 учащихся (52, 52, 53, 53, 53, 53)
   • 60–69: 4 учащихся (64, 68, 68, 68)
   • 70–79: 2 учащихся (71, 75)

   Построим гистограмму, где по оси X будут интервалы, а по оси Y — количество учащихся в каждом интервале.

2. График распределения частот (полигона частот): Построение полигона частот можно осуществить следующим образом:

   • По оси X отложим значения баллов.
   • По оси Y отложим частоты (количество учащихся, получивших определенные баллы).

   Рассчитаем частоты:

   • 34: 1
   • 39: 1
   • 42: 1
   • 43: 2
   • 44: 2
   • 49: 4
   • 52: 2
   • 53: 4
   • 64: 1
   • 68: 3
   • 71: 1
   • 75: 1

   Построим график, соединяя точки, соответствующие баллам и частотам.

Б) Найдём размах, моду и среднее значение

1. Размах: Размах данных (разность между максимальным и минимальным значениями): [ R = X{\text{max}} - X{\text{min}} = 75 - 34 = 41 ]

2. Мода: Мода — это значение, которое встречается чаще всего. Посчитаем частоты каждого значения:

   • 34: 1 раз
   • 39: 1 раз
   • 42: 1 раз
   • 43: 2 раза
   • 44: 2 раза
   • 49: 4 раза
   • 52: 2 раза
   • 53: 4 раза
   • 64: 1 раз
   • 68: 3 раза
   • 71: 1 раз
   • 75: 1 раз

   Наиболее часто встречаемые значения — 49 и 53, они встречаются по 4 раза. Следовательно, моды данных — 49 и 53.

3. Среднее значение: Среднее значение (среднее арифметическое) вычисляется по формуле: [ \bar{X} = \frac{\sum X_i}{n} ] где ( \sum X_i ) — сумма всех значений, ( n ) — количество значений.

   Сначала найдем сумму всех значений: [ \sum X_i = 49 + 43 + 42 + 39 + 34 + 49 + 44 + 49 + 53 + 53 + 44 + 68 + 43 + 53 + 52 + 64 + 68 + 71 + 53 + 68 + 52 + 49 + 75 = 1142 ]

   Количество значений ( n = 23 ).

   Тогда среднее значение: [ \bar{X} = \frac{1142}{23} \approx 49.65 ]

Выводы:

• Размах: 41
• Моды: 49 и 53
• Среднее значение: 49.65

Эти расчеты и графики помогут вам лучше понять распределение и основные характеристики данных результатов экзамена.