Найдите абсциссу точки касания прямая y=-x+4 является касательной к графику функции y=x^3+x^2-x+4

Чтобы найти абсциссу точки касания, где прямая (y = -x + 4) является касательной к графику функции (y = x^3 + x^2 - x + 4), необходимо определить, при каком значении (x) у этих двух функций одинаковые значения и одинаковые производные, то есть одинаковый наклон.

Шаги решения:

1. Нахождение точки пересечения: Для начала приравняем уравнения функции и прямой: [ x^3 + x^2 - x + 4 = -x + 4 ] Упростим уравнение: [ x^3 + x^2 = 0 ]

2. Решение уравнения: Вынесем (x) за скобки: [ x(x^2 + x) = 0 ] Это уравнение дает нам два решения: [ x = 0 \quad \text{или} \quad x^2 + x = 0 ]

3. Решение квадратного уравнения: Решим квадратное уравнение: [ x(x + 1) = 0 ] Это дает нам ещё одно решение: [ x = 0 \quad \text{или} \quad x = -1 ]

4. Проверка касательности: Теперь нам нужно проверить, при каком из значений (x = 0) или (x = -1) прямая действительно является касательной. Для этого необходимо, чтобы производная функции в этой точке совпадала с угловым коэффициентом прямой, равным -1.

   Найдем производную функции: [ y' = 3x^2 + 2x - 1 ]

   Проверим производную в точках (x = 0) и (x = -1):

   • Для (x = 0): [ y'(0) = 3(0)^2 + 2(0) - 1 = -1 ] Это совпадает с угловым коэффициентом прямой.

   • Для (x = -1): [ y'(-1) = 3(-1)^2 + 2(-1) - 1 = 3 - 2 - 1 = 0 ] Это не совпадает с угловым коэффициентом прямой.

Таким образом, единственной точкой, где прямая является касательной к графику функции, является точка с абсциссой (x = 0).

Ответ:

Абсцисса точки касания — (x = 0).

Для того чтобы найти абсциссу точки касания, нужно найти общие точки прямой и графика функции. Так как прямая y=-x+4 является касательной к графику функции y=x^3+x^2-x+4, то в точке касания у них будет одинаковая абсцисса.

Для этого нужно решить систему уравнений: 1) y=-x+4 2) y=x^3+x^2-x+4

Подставляем уравнение прямой в уравнение функции: -x+4=x^3+x^2-x+4

Упрощаем: x^3+x^2=0

x^2(x+1)=0

x=0 или x=-1

Таким образом, точка касания прямой y=-x+4 и графика функции y=x^3+x^2-x+4 имеет абсциссу x=0 или x=-1.

Для нахождения абсциссы точки касания следует приравнять уравнения прямой и касательной. В данном случае получим уравнение x^3+x^2-x+4=-x+4. Решив это уравнение, найдем x=0. Таким образом, абсцисса точки касания равна 0.