Найдите целые решения системы неравенств: 25x2-11 _< (5х+1)^2-13x (2х-1)/4-(х-2)/3>0

Решим данную систему неравенств шаг за шагом.

Первое неравенство

Рассмотрим первое неравенство:

[ 25x^2 - 11 \leq (5x + 1)^2 - 13x ]

Раскроем скобки в правой части:

[ (5x + 1)^2 = 25x^2 + 10x + 1 ]

Тогда неравенство можно записать как:

[ 25x^2 - 11 \leq 25x^2 + 10x + 1 - 13x ]

Упростим правую часть:

[ 25x^2 - 11 \leq 25x^2 - 3x + 1 ]

Теперь вычтем (25x^2) из обеих сторон:

[ -11 \leq -3x + 1 ]

Преобразуем неравенство:

[ -11 - 1 \leq -3x ] [ -12 \leq -3x ]

Умножим обе стороны на -1 (не забываем поменять знак неравенства):

[ 12 \geq 3x ]

Разделим на 3:

[ 4 \geq x ]

Или:

[ x \leq 4 ]

Второе неравенство

Теперь рассмотрим второе неравенство:

[ \frac{2x - 1}{4} - \frac{x - 2}{3} > 0 ]

Приведем к общему знаменателю. Общий знаменатель будет 12:

[ \frac{3(2x - 1)}{12} - \frac{4(x - 2)}{12} > 0 ]

Упрощаем:

[ \frac{6x - 3 - 4x + 8}{12} > 0 ]

Это можно записать как:

[ \frac{2x + 5}{12} > 0 ]

Теперь, чтобы неравенство выполнялось, необходимо, чтобы числитель был положительным:

[ 2x + 5 > 0 ]

Решим это неравенство:

[ 2x > -5 ] [ x > -\frac{5}{2} ]

Объединение решений

Теперь у нас есть два неравенства:

1. (x \leq 4)
2. (x > -\frac{5}{2})

Объединим их:

[ -\frac{5}{2} < x \leq 4 ]

Целые решения

Теперь найдём целые значения (x), которые удовлетворяют этому диапазону.

Целые числа, удовлетворяющие неравенству:

(-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4)

Таким образом, целые решения системы неравенств:

[ x = -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 ]

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Для первого неравенства: [ 25x^2 - 11 \leq (5x + 1)^2 - 13x ] Раскроем скобки и упростим: [ 25x^2 - 11 \leq 25x^2 + 10x + 1 - 13x ] [ 25x^2 - 11 \leq 25x^2 - 3x + 1 ] Упростим: [ -11 \leq -3x + 1 ] [ -12 \leq -3x ] [ 4 \geq x ] или [ x \leq 4 ]

2. Для второго неравенства: [ \frac{2x-1}{4} - \frac{x-2}{3} > 0 ] Приведем к общему знаменателю: [ \frac{3(2x-1) - 4(x-2)}{12} > 0 ] Упрощаем: [ \frac{6x - 3 - 4x + 8}{12} > 0 ] [ \frac{2x + 5}{12} > 0 ] Это неравенство выполняется, когда ( 2x + 5 > 0 ): [ 2x > -5 ] [ x > -\frac{5}{2} ]

Таким образом, объединяя оба неравенства, получаем: [ -\frac{5}{2} < x \leq 4 ]

Целые решения: ( x = -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 ).

Рассмотрим данную систему неравенств:

1. ( 25x^2 - 11 \leq (5x+1)^2 - 13x )
2. ( \frac{2x-1}{4} - \frac{x-2}{3} > 0 )

Решим каждое неравенство по отдельности.

Неравенство 1:

[ 25x^2 - 11 \leq (5x+1)^2 - 13x ]

Для начала раскроем скобки в ( (5x+1)^2 ): [ (5x+1)^2 = 25x^2 + 10x + 1 ]

Подставляем это в неравенство: [ 25x^2 - 11 \leq 25x^2 + 10x + 1 - 13x ]

Сократим ( 25x^2 ) на обеих сторонах: [ -11 \leq -3x + 1 + 10x ]

Упростим правую часть: [ -11 \leq 7x + 1 ]

Перенесём ( 1 ) влево: [ -11 - 1 \leq 7x ]

[ -12 \leq 7x ]

Разделим на ( 7 ) (заметьте, знак неравенства не меняется, так как делим на положительное число): [ x \geq -\frac{12}{7} ]

Итак, первое неравенство даёт: [ x \geq -\frac{12}{7} ]

Неравенство 2:

[ \frac{2x-1}{4} - \frac{x-2}{3} > 0 ]

Приведём дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для ( 4 ) и ( 3 ) — это ( 12 ). Перепишем дроби с общим знаменателем: [ \frac{2x-1}{4} = \frac{3(2x-1)}{12}, \quad \frac{x-2}{3} = \frac{4(x-2)}{12} ]

Подставим в неравенство: [ \frac{3(2x-1)}{12} - \frac{4(x-2)}{12} > 0 ]

Объединим дроби: [ \frac{3(2x-1) - 4(x-2)}{12} > 0 ]

Раскроем скобки в числителе: [ 3(2x-1) = 6x - 3, \quad 4(x-2) = 4x - 8 ]

Подставим: [ \frac{(6x - 3) - (4x - 8)}{12} > 0 ]

Упростим числитель: [ (6x - 3) - (4x - 8) = 6x - 3 - 4x + 8 = 2x + 5 ]

Получаем: [ \frac{2x + 5}{12} > 0 ]

Так как знаменатель ( 12 > 0 ), знак дроби определяется только числителем. Решаем: [ 2x + 5 > 0 ]

[ 2x > -5 ]

[ x > -\frac{5}{2} ]

Итоговая система:

Теперь у нас есть система:

1. ( x \geq -\frac{12}{7} )
2. ( x > -\frac{5}{2} )

Для нахождения пересечения рассмотрим эти два условия. Заметим, что: [ -\frac{12}{7} \approx -1.71, \quad -\frac{5}{2} = -2.5 ]

Таким образом: [ x \geq -\frac{12}{7} ]

Итак, целые решения: [ x \in {-1, 0, 1, 2, \dots} ]