Найдите cosa, если sinа= -√51\10 а∈(3П\2; 2П)

Для нахождения ( \cos a ) можно использовать тождество ( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 ).

Дано: ( \sin a = -\frac{\sqrt{51}}{10} ).

1. Найдем ( \sin^2 a ): [ \sin^2 a = \left(-\frac{\sqrt{51}}{10}\right)^2 = \frac{51}{100}. ]

2. Подставим в тождество: [ \frac{51}{100} + \cos^2 a = 1. ]

3. Выразим ( \cos^2 a ): [ \cos^2 a = 1 - \frac{51}{100} = \frac{49}{100}. ]

4. Найдем ( \cos a ): [ \cos a = \pm \sqrt{\frac{49}{100}} = \pm \frac{7}{10}. ]

Так как ( a \in \left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right) ) (четвертый квадрант), то ( \cos a ) положительно.

Следовательно, ( \cos a = \frac{7}{10} ).

Для нахождения значения (\cos a) при заданном значении (\sin a = -\frac{\sqrt{51}}{10}) и угле (a \in \left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right)), воспользуемся основным тригонометрическим соотношением:

[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 ]

Сначала найдем (\sin^2 a):

[ \sin^2 a = \left(-\frac{\sqrt{51}}{10}\right)^2 = \frac{51}{100} ]

Теперь подставим это значение в тригонометрическое соотношение:

[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \implies \frac{51}{100} + \cos^2 a = 1 ]

Решим это уравнение для (\cos^2 a):

[ \cos^2 a = 1 - \frac{51}{100} = \frac{100}{100} - \frac{51}{100} = \frac{49}{100} ]

Теперь найдем (\cos a):

[ \cos a = \pm \sqrt{\frac{49}{100}} = \pm \frac{7}{10} ]

Поскольку угол (a) находится в интервале (\left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right)), это означает, что (a) находится в четвертой четверти, где косинус положителен. Поэтому:

[ \cos a = \frac{7}{10} ]

Таким образом, значение (\cos a) равно:

[ \cos a = \frac{7}{10} ]

Давайте решим задачу и разберемся шаг за шагом.

Условие задачи:

• Дано: (\sin a = -\frac{\sqrt{51}}{10});
• (a \in \left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right)), то есть угол (a) находится в четвертой четверти.

Нужно найти (\cos a).

1. Основное тригонометрическое тождество

Мы знаем, что для любого угла выполняется основное тригонометрическое тождество: [ \sin^2 a + \cos^2 a = 1. ]

Подставим значение (\sin a = -\frac{\sqrt{51}}{10}) в это тождество. Найдем (\sin^2 a): [ \sin^2 a = \left(-\frac{\sqrt{51}}{10}\right)^2 = \frac{51}{100}. ]

Теперь подставим это в тождество: [ \sin^2 a + \cos^2 a = 1, ] [ \frac{51}{100} + \cos^2 a = 1. ]

Вычтем (\frac{51}{100}) из обеих частей уравнения: [ \cos^2 a = 1 - \frac{51}{100} = \frac{100}{100} - \frac{51}{100} = \frac{49}{100}. ]

Таким образом, [ \cos^2 a = \frac{49}{100}. ]

2. Найдем (\cos a)

Из (\cos^2 a = \frac{49}{100}) следует, что: [ \cos a = \pm \sqrt{\frac{49}{100}} = \pm \frac{7}{10}. ]

Теперь определим знак (\cos a). Угол (a \in \left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right)), то есть (a) находится в четвертой четверти. В четвертой четверти (\cos a > 0), а (\sin a < 0).

Следовательно: [ \cos a = \frac{7}{10}. ]

Итоговый ответ:

[ \cos a = \frac{7}{10}. ]