Найдите: cos(a+b); если sina-sinb = -1 cosa+cosb = минус корень из 3

Для решения задачи необходимо использовать формулы сложения тригонометрических функций. У нас даны следующие условия:

1. (\sin a - \sin b = -1)
2. (\cos a + \cos b = -\sqrt{3})

Наша задача — найти (\cos(a+b)).

Шаг 1: Использование формул суммы и разности синусов

Формула разности синусов: [ \sin a - \sin b = 2 \cos\left(\frac{a+b}{2}\right) \sin\left(\frac{a-b}{2}\right) ]

Подставим условие: [ 2 \cos\left(\frac{a+b}{2}\right) \sin\left(\frac{a-b}{2}\right) = -1 ]

Шаг 2: Использование формул суммы косинусов

Формула суммы косинусов: [ \cos a + \cos b = 2 \cos\left(\frac{a+b}{2}\right) \cos\left(\frac{a-b}{2}\right) ]

Подставим условие: [ 2 \cos\left(\frac{a+b}{2}\right) \cos\left(\frac{a-b}{2}\right) = -\sqrt{3} ]

Шаг 3: Решение системы уравнений

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. (2 \cos\left(\frac{a+b}{2}\right) \sin\left(\frac{a-b}{2}\right) = -1)
2. (2 \cos\left(\frac{a+b}{2}\right) \cos\left(\frac{a-b}{2}\right) = -\sqrt{3})

Разделим первое уравнение на второе, чтобы выразить (\tan\left(\frac{a-b}{2}\right)): [ \frac{\sin\left(\frac{a-b}{2}\right)}{\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)} = \frac{1}{\sqrt{3}} ]

Следовательно: [ \tan\left(\frac{a-b}{2}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} ]

Это значит, что (\frac{a-b}{2} = \frac{\pi}{6} + k\pi), где (k) — целое число.

Шаг 4: Вычисление (\cos(a+b))

Теперь найдём (\cos(a+b)) через формулу косинуса суммы: [ \cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b ]

Используя выражения для (\cos a + \cos b) и (\sin a - \sin b), мы можем найти (\cos a \cos b) и (\sin a \sin b).

Поскольку: [ \cos a + \cos b = 2 \cos\left(\frac{a+b}{2}\right) \cos\left(\frac{a-b}{2}\right) = -\sqrt{3} ]

И: [ \sin a - \sin b = 2 \cos\left(\frac{a+b}{2}\right) \sin\left(\frac{a-b}{2}\right) = -1 ]

Можно выразить: [ \cos(a+b) = 2 \cos^2\left(\frac{a+b}{2}\right) - 1 = -\frac{1}{2} ]

Таким образом, (\cos(a+b) = -\frac{1}{2}).

cos(a+b) = cosacosb - sinasinb

cos(a+b) = cosacosb - sinasinb cos(a+b) = cosacosb - (-1) cos(a+b) = cosacosb + 1 cos(a+b) = -√3

Для решения данной задачи воспользуемся формулой для нахождения косинуса суммы двух углов: cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b

Учитывая, что sina - sinb = -1, распишем данное равенство в виде: sina = sinb - 1

Преобразуем данное равенство с учетом тригонометрических формул: sina = sinb cos(-90) + cosb sin(-90) sina = sinb 0 + cosb (-1) sina = -cosb

Таким образом, мы получили дополнительное равенство между синусами углов a и b. Теперь подставим его в исходное уравнение для косинусов: cos a + cos b = -√3

Известно, что углы a и b образуют плоский угол, поэтому их сумма равна 180 градусам или pi радианам. Воспользуемся формулой для косинуса суммы двух углов: cos(180) = cos a cos b - sin a sin b

cos(180) = -1 -1 = cos a cos b - sin a sin b

Теперь подставим полученные выражения для косинусов и синусов: -1 = cos a (-cosa) - (-cosb sinb) -1 = -cosa^2 + cosb * sinb

Учитывая, что sin a = -cos b, воспользуемся этим равенством: -1 = -cosa^2 + cosb (-cosa) -1 = -cosa(cosa + cosb) -1 = -cosa (-√3) -1 = cosa * √3

Отсюда получаем: cosa = -1/√3

Таким образом, cos(a + b) = cos(180) = -1.