Найдите длину наибольшего отрезка, параллельного оси ординат и лежащего внутри фигуры ограниченной параболами...

Для нахождения длины наибольшего отрезка, параллельного оси ординат (оси ( y )), который лежит внутри фигуры, ограниченной параболами ( y = x^2 - 5x + 3 ) и ( y = 1 - x^2 ), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти точки пересечения парабол: Для этого приравняем их уравнения: [ x^2 - 5x + 3 = 1 - x^2 ]

   Приведем уравнение к стандартному виду: [ x^2 - 5x + 3 = 1 - x^2 \implies 2x^2 - 5x + 2 = 0 ]

   Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 ]

   Найдем корни: [ x = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 3}{4} ]

   Таким образом, ( x_1 = 2 ) и ( x_2 = \frac{1}{2} ).

   Следовательно, точки пересечения парабол: [ x = 2 \quad \text{и} \quad x = \frac{1}{2} ]

2. Вычислить значения ( y ) в этих точках: Подставим значения ( x ) в одно из уравнений, например, ( y = 1 - x^2 ).

   Для ( x = 2 ): [ y = 1 - 2^2 = 1 - 4 = -3 ]

   Для ( x = \frac{1}{2} ): [ y = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} ]

   Таким образом, точки пересечения имеют координаты ( (2, -3) ) и ( \left(\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right) ).

3. Понять, как выглядит фигура: Парабола ( y = x^2 - 5x + 3 ) открывается вверх, а парабола ( y = 1 - x^2 ) открывается вниз. Фигура, ограниченная этими параболами, находится между ними.

4. Определить наибольший отрезок, параллельный оси ( y ): Наибольший отрезок будет вертикальным и будет проходить через ( x )-точки пересечения. Хотя точки пересечения определяют крайние значения, мы должны искать наибольшую разницу в ( y ) на любом ( x ) между этими точками.

   [ \text{Длина отрезка} = \text{разница} \quad y{\text{верхний}} - y{\text{нижний}} ]

   В точках пересечения:

   • при ( x = 2 ): ( y{\text{верхний}} = 1 - x^2 = -3 ) и ( y{\text{нижний}} = x^2 - 5x + 3 = -3 ), длина отрезка = 0
   • при ( x = \frac{1}{2} ): ( y{\text{верхний}} = 1 - x^2 = \frac{3}{4} ) и ( y{\text{нижний}} = x^2 - 5x + 3 = \frac{3}{4} ), длина отрезка = 0

   Следовательно, нужно найти такие ( x ), при которых разница между ( y{\text{верхний}} ) и ( y{\text{нижний}} ) максимальна в интервале ( \frac{1}{2} \le x \le 2 ).

   Для этого введем функцию разницы: [ \Delta y = (1 - x^2) - (x^2 - 5x + 3) = 1 - x^2 - x^2 + 5x - 3 = 5x - 2x^2 - 2 ]

   Найдем максимум этой функции на интервале ( \frac{1}{2} \le x \le 2 ). Для этого найдем производную и критические точки: [ \Delta y' = 5 - 4x ]

   Приравняем производную к нулю: [ 5 - 4x = 0 \implies x = \frac{5}{4} ]

   Проверим значения функции в критической точке и на концах интервала: [ \Delta y\left(\frac{1}{2}\right) = 5 \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 2 = \frac{5}{2} - \frac{1}{2} - 2 = 1 ] [ \Delta y\left(2\right) = 5 \cdot 2 - 2 \cdot 2^2 - 2 = 10 - 8 - 2 = 0 ] [ \Delta y\left(\frac{5}{4}\right) = 5 \cdot \frac{5}{4} - 2 \cdot \left(\frac{5}{4}\right)^2 - 2 = \frac{25}{4} - 2 \cdot \frac{25}{16} - 2 = \frac{25}{4} - \frac{25}{8} - 2 = \frac{25}{8} - 2 = \frac{9}{4} = 2.25 ]

   Таким образом, наибольшая разница в ( y ) и, соответственно, наибольшая длина отрезка, параллельного оси ( y ), составляет 2.25.

Ответ: Длина наибольшего отрезка, параллельного оси ординат и лежащего внутри фигуры, равна 2.25.

Для нахождения длины наибольшего отрезка, параллельного оси ординат и лежащего внутри фигуры, ограниченной параболами y = x^2 - 5x + 3 и y = 1 - x^2, необходимо найти точки их пересечения.

Сначала найдем точки пересечения парабол. Для этого приравняем уравнения и найдем значения x:

x^2 - 5x + 3 = 1 - x^2 2x^2 - 5x + 2 = 0

Решив квадратное уравнение, получим два возможных значения x: x1 = 2 и x2 = 0.5.

Подставим найденные значения x обратно в уравнения парабол, чтобы найти соответствующие значения y:

Для x = 2: y = 2^2 - 5*2 + 3 = 4 - 10 + 3 = -3

Для x = 0.5: y = 0.5^2 - 5*0.5 + 3 = 0.25 - 2.5 + 3 = 0.75

Итак, точки пересечения парабол: (2, -3) и (0.5, 0.75).

Длина отрезка, параллельного оси ординат и лежащего внутри фигуры, будет равна разности по модулю ординат найденных точек: |0.75 - (-3)| = |3.75| = 3.75.

Следовательно, длина наибольшего отрезка, параллельного оси ординат и лежащего внутри фигуры, ограниченной указанными параболами, равна 3.75.