Найдите экстремумы функции f(x)=x^3-2x^2+x+3

Для нахождения экстремумов данной функции f(x)=x^3-2x^2+x+3 необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю, чтобы найти точки, в которых функция достигает локального максимума или минимума.

f'(x) = 3x^2 - 4x + 1

Теперь найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю:

3x^2 - 4x + 1 = 0

Далее решим квадратное уравнение:

D = (-4)^2 - 431 = 16 - 12 = 4

x1,2 = (4 ± sqrt(4)) / 6 x1 = 1, x2 = 1/3

Теперь найдем значения функции в найденных точках:

f(1) = 1^3 - 21^2 + 1 + 3 = 1 - 2 + 1 + 3 = 3 f(1/3) = (1/3)^3 - 2(1/3)^2 + 1/3 + 3 = 1/27 - 2/9 + 1/3 + 3 = 1/27 - 6/27 + 9/27 + 27/27 = 31/27

Таким образом, точки экстремума функции f(x)=x^3-2x^2+x+3 равны x=1 и x=1/3, а соответствующие значения функции f(x) в этих точках равны f(1)=3 и f(1/3)=31/27. Точка (1, 3) является точкой локального минимума, а точка (1/3, 31/27) является точкой локального максимума.

Для нахождения экстремумов функции ( f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3 ), следует сначала найти производную функции и затем определить критические точки, в которых производная равна нулю или не существует. После этого нужно определить, какие из этих точек соответствуют максимумам или минимумам.

1. Находим первую производную: [ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 2x^2 + x + 3) = 3x^2 - 4x + 1. ]

2. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю: [ 3x^2 - 4x + 1 = 0. ] Решаем квадратное уравнение: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6} = \frac{4 \pm 2}{6}. ] Таким образом, получаем два решения: [ x_1 = \frac{4 + 2}{6} = 1, ] [ x_2 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{1}{3}. ]

3. Исследуем знак производной в окрестности критических точек (или используем вторую производную): [ f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 4x + 1) = 6x - 4. ] Подставляем критические точки во вторую производную: [ f''(1) = 6 \cdot 1 - 4 = 2, ] [ f''\left(\frac{1}{3}\right) = 6 \cdot \frac{1}{3} - 4 = 2 - 4 = -2. ] Так как ( f''(1) > 0 ), точка ( x = 1 ) является точкой локального минимума. Так как ( f''\left(\frac{1}{3}\right) < 0 ), точка ( x = \frac{1}{3} ) является точкой локального максимума.

4. Находим значения функции в критических точках: [ f(1) = 1^3 - 2 \cdot 1^2 + 1 + 3 = 1 - 2 + 1 + 3 = 3, ] [ f\left(\frac{1}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}\right)^3 - 2\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \frac{1}{3} + 3 = \frac{1}{27} - \frac{2}{9} + \frac{1}{3} + 3 = \frac{1 + 9 - 6 + 81}{27} = \frac{85}{27}. ]

Таким образом, у функции ( f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3 ) есть локальный максимум в точке ( x = \frac{1}{3} ), ( f\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{85}{27} ), и локальный минимум в точке ( x = 1 ), ( f(1) = 3 ).

Для нахождения экстремумов функции f(x)=x^3-2x^2+x+3 используется метод дифференцирования. Находим производную функции f'(x)=3x^2-4x+1. Далее приравниваем производную к нулю и решаем уравнение 3x^2-4x+1=0. Получаем два корня: x=1 и x=1/3. Подставляем найденные значения x обратно в исходную функцию и находим значение f(x). Таким образом, экстремумы функции f(x)=x^3-2x^2+x+3 равны f(1)=-1 и f(1/3)=13/27.