Найдите функцию, обратную к данной, y=4^x-3 её область определения и область значений

Для того чтобы найти обратную функцию к y=4^x-3, нужно поменять местами переменные x и y и решить уравнение относительно y.

Итак, у нас есть уравнение y=4^x-3. Перепишем его в виде x=4^y-3. Теперь найдем обратную функцию, решив это уравнение относительно y:

x = 4^y - 3 x + 3 = 4^y 4^y = x + 3 y = log₄(x + 3)

Таким образом, обратная функция к y=4^x-3 будет y = log₄(x + 3). Областью определения данной функции будет множество всех действительных чисел больших или равных -3, так как внутри логарифма должно быть положительное число (x + 3 > 0). Областью значений будет множество всех действительных чисел.

Чтобы найти обратную функцию к данной функции ( y = 4^x - 3 ), мы должны выразить ( x ) через ( y ). Давайте выполним это шаг за шагом:

1. Начнем с уравнения ( y = 4^x - 3 ).
2. Добавим 3 к обеим сторонам уравнения: [ y + 3 = 4^x ]
3. Возьмем логарифм по основанию 4 от обеих сторон: [ \log_4(y + 3) = x ]

Таким образом, обратная функция будет записана как: [ x = \log_4(y + 3) ]

Теперь обозначим обратную функцию как ( f^{-1}(y) ): [ f^{-1}(y) = \log_4(y + 3) ]

Область определения обратной функции

Обратная функция ( f^{-1}(y) ) определена, когда выражение под логарифмом положительно. Это означает: [ y + 3 > 0 \quad \Rightarrow \quad y > -3 ]

Следовательно, область определения обратной функции ( f^{-1}(y) ) — это все ( y > -3 ).

Область значений обратной функции

Поскольку функция ( y = 4^x - 3 ) является возрастанием, её область значений (то есть возможные значения ( y )) начинается с минимального значения, которое достигается при ( x \to -\infty ), стремясь к (-3), и продолжается до бесконечности, так как экспоненциальные функции не имеют верхней границы. Таким образом, область значений обратной функции ( f^{-1}(y) ) — это все действительные числа:

[ x \in \mathbb{R} ]

Итого

• Обратная функция: ( f^{-1}(y) = \log_4(y + 3) )
• Область определения обратной функции: ( y > -3 )
• Область значений обратной функции: ( x \in \mathbb{R} )

Для нахождения обратной функции к y=4^x-3 необходимо поменять местами x и y и решить уравнение относительно y. Получится x=4^y-3. Область определения исходной функции y=4^x-3 - это вся числовая прямая, область значений - все значения больше -3. Обратная функция будет иметь область определения всех значений больше -3 и область значений - вся числовая прямая.