Найдите f'(x) если F(x)=5^x

Для нахождения производной функции F(x) = 5^x необходимо воспользоваться правилом дифференцирования функции возведения в степень. По этому правилу производная функции a^x, где 'a' - постоянное число, равна ln(a)*a^x.

Таким образом, для функции F(x) = 5^x производная f'(x) будет равна ln(5)*5^x.

f'(x) = 5^x * ln(5)

Чтобы найти производную функции ( F(x) = 5^x ), нужно воспользоваться правилом дифференцирования показательных функций. Рассмотрим шаги подробнее:

1. Преобразование функции с использованием натурального логарифма:

   Функция ( F(x) = 5^x ) может быть записана в форме ( e )-основанной экспоненциальной функции, используя свойства логарифмов: [ 5^x = e^{\ln(5^x)} = e^{x \ln(5)} ]

2. Дифференцирование ( e^{u} ):

   Известно, что производная функции ( e^{u} ), где ( u ) — это функция от ( x ), равна ( e^{u} ) умноженной на производную ( u ) по ( x ): [ \frac{d}{dx} e^{u} = e^{u} \cdot \frac{du}{dx} ]

3. Применение этого правила к нашему случаю:

   Пусть ( u = x \ln(5) ). Тогда производная ( u ) по ( x ) будет равна производной ( x \ln(5) ): [ \frac{du}{dx} = \ln(5) ]

4. Подставляем обратно в производную:

   Тогда производная ( F(x) = e^{x \ln(5)} ) по ( x ): [ \frac{d}{dx} (e^{x \ln(5)}) = e^{x \ln(5)} \cdot \ln(5) ]

5. Записываем конечный результат в исходных терминах:

   Поскольку ( e^{x \ln(5)} ) — это просто ( 5^x ), то производная функции ( F(x) = 5^x ) по ( x ) будет: [ F'(x) = 5^x \ln(5) ]

Таким образом, производная функции ( F(x) = 5^x ) равна: [ F'(x) = 5^x \ln(5) ]

Эта формула показывает, как быстро изменяется функция ( 5^x ) по отношению к переменной ( x ), и включает в себя как исходную функцию, так и натуральный логарифм основания экспоненты.