Найдите катеты прямоугольного треугольника , если их сумма равна 46 см, а гипотенуза треугольника 34...

Для решения этой задачи мы используем свойства прямоугольного треугольника и теорему Пифагора. Обозначим катеты треугольника через ( a ) и ( b ). Из условия задачи известно, что их сумма равна 46 см:

[ a + b = 46 ]

Также по теореме Пифагора, которая утверждает, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, мы можем записать:

[ a^2 + b^2 = 34^2 ]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. ( a + b = 46 )
2. ( a^2 + b^2 = 1156 )

Для решения этой системы уравнений удобно использовать метод подстановки. Из первого уравнения выразим ( b ) через ( a ):

[ b = 46 - a ]

Подставим это выражение для ( b ) во второе уравнение:

[ a^2 + (46 - a)^2 = 1156 ]

Теперь раскроем скобки:

[ a^2 + (46^2 - 2 \cdot 46 \cdot a + a^2) = 1156 ]

Это упрощается до:

[ 2a^2 - 92a + 2116 = 1156 ]

Вычтем 1156 из обеих сторон уравнения:

[ 2a^2 - 92a + 960 = 0 ]

Разделим все уравнение на 2, чтобы упростить его:

[ a^2 - 46a + 480 = 0 ]

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант:

[ D = (-46)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 480 ]

[ D = 2116 - 1920 ]

[ D = 196 ]

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:

[ a_{1,2} = \frac{-(-46) \pm \sqrt{196}}{2} ]

[ a_{1,2} = \frac{46 \pm 14}{2} ]

Получаем два решения:

1. ( a_1 = \frac{46 + 14}{2} = 30 )
2. ( a_2 = \frac{46 - 14}{2} = 16 )

Отсюда находим соответствующие значения для ( b ):

1. Если ( a = 30 ), то ( b = 46 - 30 = 16 )
2. Если ( a = 16 ), то ( b = 46 - 16 = 30 )

Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны 30 см и 16 см.

Длина катетов равна 20 см и 26 см.

Пусть один катет треугольника равен x см, а другой катет равен (46 - x) см (так как их сумма равна 46 см). Используем теорему Пифагора для нахождения катетов:

x^2 + (46 - x)^2 = 34^2 x^2 + 2116 - 92x + x^2 = 1156 2x^2 - 92x + 960 = 0 x^2 - 46x + 480 = 0 (x - 30)(x - 16) = 0

Отсюда получаем два возможных значения для x: x = 30 или x = 16.

Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны 30 см и 16 см.