Найдите х, при котором числа х-2, 2х-1, х2-5 составляют арифметическую прогрессию

Для того чтобы числа x-2, 2x-1, x^2-5 составляли арифметическую прогрессию, необходимо, чтобы разность между любыми двумя последовательными членами была одинакова.

Таким образом, мы можем записать уравнение:

(2x-1) - (x-2) = (x^2-5) - (2x-1)

Упрощая это уравнение, получаем:

2x - 1 - x + 2 = x^2 - 5 - 2x + 1 x + 1 = x^2 - 6 - 2x 0 = x^2 - 3x - 7

Теперь решим квадратное уравнение:

D = (-3)^2 - 41(-7) = 9 + 28 = 37

x1,2 = (3 ± √37) / 2

Таким образом, два возможных значения x, при которых числа x-2, 2x-1, x^2-5 будут составлять арифметическую прогрессию, равны:

x1 = (3 + √37) / 2 x2 = (3 - √37) / 2

Чтобы числа (x-2), (2x-1), (x^2-5) составляли арифметическую прогрессию, разность между соседними членами прогрессии должна быть постоянной. Это означает, что разность между вторым и первым членом должна быть равна разности между третьим и вторым членом.

Запишем это условие:

1. Разность между вторым и первым членом: [ (2x-1) - (x-2) = 2x - 1 - x + 2 = x + 1 ]

2. Разность между третьим и вторым членом: [ (x^2-5) - (2x-1) = x^2 - 5 - 2x + 1 = x^2 - 2x - 4 ]

Теперь приравняем эти разности, так как арифметическая прогрессия предполагает равенство разностей: [ x + 1 = x^2 - 2x - 4 ]

Перенесем все члены уравнения в одну сторону: [ x^2 - 2x - 4 - x - 1 = 0 ]

Упростим уравнение: [ x^2 - 3x - 5 = 0 ]

Теперь решим квадратное уравнение (x^2 - 3x - 5 = 0) с помощью дискриминанта. Формула для дискриминанта (D) следующая: [ D = b^2 - 4ac ]

Где (a = 1), (b = -3), (c = -5). Подставим значения: [ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 9 + 20 = 29 ]

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

Подставим значения: [ x = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2} ]

Таким образом, у нас есть два значения для (x): [ x_1 = \frac{3 + \sqrt{29}}{2} ] [ x_2 = \frac{3 - \sqrt{29}}{2} ]

Оба значения (x_1) и (x_2) удовлетворяют условию, что числа (x-2), (2x-1), (x^2-5) образуют арифметическую прогрессию.