Найдите коэффициент третьего члена в разложении по формуле бинома Ньютона: (а+х)^6

Для нахождения коэффициента третьего члена в разложении по формуле бинома Ньютона для выражения (а+х)^6, мы используем формулу:

C(n, k) a^(n-k) x^k

где C(n, k) - биномиальный коэффициент, равный n! / (k! * (n-k)!), а n - степень бинома, а k - номер члена.

В данном случае у нас n=6, k=3. Подставляя значения в формулу, получаем:

C(6, 3) a^(6-3) x^3 = 20 a^3 x^3

Следовательно, коэффициент третьего члена в разложении (а+х)^6 равен 20.

Для того чтобы найти коэффициент третьего члена в разложении ((a + x)^6) по формуле бинома Ньютона, воспользуемся следующим выражением:

[ (a + x)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} x^k ]

Здесь (\binom{n}{k}) обозначает биномиальный коэффициент, который равен:

[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} ]

В вашем случае (n = 6). Для третьего члена в разложении по формуле бинома Ньютона, нам нужно взять (k = 2) (поскольку индекс начинается с нуля: 0-й член, 1-й член, 2-й член — это третий член в разложении).

Подставляем значения в формулу:

[ \binom{6}{2} a^{6-2} x^2 = \binom{6}{2} a^4 x^2 ]

Теперь вычислим биномиальный коэффициент:

[ \binom{6}{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 ]

Таким образом, третий член разложения ((a + x)^6) будет:

[ 15a^4x^2 ]

Следовательно, коэффициент третьего члена равен 15.