Найдите координаты точки, принадлежащей оси абсцисс и равно удаленной от точек А(-2;3) и В(6;1)

Координаты точки равны (2;0).

Чтобы найти координаты точки ( P(x, 0) ), которая лежит на оси абсцисс (ось (x)) и равноудалена от точек ( A(-2, 3) ) и ( B(6, 1) ), нужно рассмотреть условие равенства расстояний от точки ( P ) до точек ( A ) и ( B ).

Для начала найдем расстояние от ( P(x, 0) ) до ( A(-2, 3) ) и ( B(6, 1) ). Расстояние от точки до точки в координатах выражается формулой: [ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} ] где ( (x_1, y_1) ) и ( (x_2, y_2) ) – координаты двух точек.

Для ( A(-2, 3) ) и ( P(x, 0) ): [ d_{AP} = \sqrt{(x + 2)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{(x + 2)^2 + 9} ]

Для ( B(6, 1) ) и ( P(x, 0) ): [ d_{BP} = \sqrt{(x - 6)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{(x - 6)^2 + 1} ]

Теперь приравниваем эти расстояния: [ \sqrt{(x + 2)^2 + 9} = \sqrt{(x - 6)^2 + 1} ]

Возводим обе части уравнения в квадрат для избавления от квадратных корней: [ (x + 2)^2 + 9 = (x - 6)^2 + 1 ]

Раскрываем скобки и упрощаем уравнение: [ x^2 + 4x + 4 + 9 = x^2 - 12x + 36 + 1 ] [ x^2 + 4x + 13 = x^2 - 12x + 37 ]

Отсюда получаем линейное уравнение: [ 4x + 12x = 37 - 13 ] [ 16x = 24 ] [ x = 24 / 16 ] [ x = 1.5 ]

Таким образом, координаты точки ( P ), лежащей на оси абсцисс и равноудалённой от точек ( A ) и ( B ), будут ( (1.5, 0) ).

Для того чтобы найти координаты точки, принадлежащей оси абсцисс и равноудаленной от точек А(-2;3) и В(6;1), можно воспользоваться средней точкой отрезка.

Сначала найдем координаты середины отрезка AB. Для этого используем формулы нахождения координат середины отрезка: x = (x1 + x2) / 2 y = (y1 + y2) / 2

где (x1; y1) и (x2; y2) - координаты точек A и B соответственно. Подставляем координаты точек A(-2;3) и B(6;1): x = (-2 + 6) / 2 = 4 / 2 = 2 y = (3 + 1) / 2 = 4 / 2 = 2

Таким образом, координаты середины отрезка AB равны (2;2).

Затем найдем уравнение прямой, проходящей через точку середины отрезка AB и перпендикулярной прямой AB. Для этого найдем угловой коэффициент прямой AB и используем свойство перпендикулярных прямых: произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно -1.

Угловой коэффициент прямой AB: k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (1 - 3) / (6 - (-2)) = -2 / 8 = -1/4

Угловой коэффициент перпендикулярной прямой: k' = -1 / k = -1 / (-1/4) = 4

Теперь у нас есть угловой коэффициент перпендикулярной прямой и координаты точки, через которую она проходит. Таким образом, уравнение прямой имеет вид: y = k'(x - x0) + y0 y = 4(x - 2) + 2 y = 4x - 8 + 2 y = 4x - 6

Теперь найдем точку пересечения этой прямой с осью абсцисс (y = 0): 0 = 4x - 6 4x = 6 x = 6 / 4 x = 1.5

Итак, координаты точки, принадлежащей оси абсцисс и равноудаленной от точек А(-2;3) и В(6;1), равны (1.5;0).