Найдите корень уравнения: cosПи(2x-1)/3=1/2 В ответ запишите наименьший положительный корень.

Для нахождения корня уравнения cos(π(2x-1)/3) = 1/2, мы можем использовать свойство косинуса, что cos угла α равен 1/2 при α = π/3. Таким образом, мы можем записать уравнение как: π(2x-1)/3 = π/3 + 2πn, где n - целое число. 2x - 1 = 1 + 6n 2x = 2 + 6n x = 1 + 3n

Наименьший положительный корень будет при n = 0, тогда x = 1.

Чтобы найти наименьший положительный корень уравнения (\cos\left(\frac{\pi(2x-1)}{3}\right) = \frac{1}{2}), следуем следующим шагам:

1. Определение угла для косинуса: Косинус равен (\frac{1}{2}) для углов (\frac{\pi}{3} + 2k\pi) и (-\frac{\pi}{3} + 2k\pi), где (k) — любое целое число. Эти углы соответствуют точкам на единичной окружности, где косинус принимает значение (\frac{1}{2}).

2. Решение уравнения: Поставим условие (\frac{\pi(2x-1)}{3} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi) и (\frac{\pi(2x-1)}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi), чтобы найти все возможные значения (x).

   • Для первого случая: [ \frac{\pi(2x-1)}{3} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi ] Умножим обе стороны на 3: [ \pi(2x-1) = \pi + 6k\pi ] [ 2x - 1 = 1 + 6k ] [ 2x = 2 + 6k ] [ x = 1 + 3k ]

   • Для второго случая: [ \frac{\pi(2x-1)}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi ] Умножим обе стороны на 3: [ \pi(2x-1) = -\pi + 6k\pi ] [ 2x - 1 = -1 + 6k ] [ 2x = 0 + 6k ] [ x = 3k ]

3. Поиск наименьшего положительного корня:

   • Из первого набора решений (x = 1 + 3k), подставим (k = 0), получаем (x = 1).
   • Из второго набора решений (x = 3k), подставим (k = 1), получаем (x = 3).

Сравнивая (x = 1) и (x = 3), наименьший положительный корень — это (x = 1).

Таким образом, наименьший положительный корень уравнения (\cos\left(\frac{\pi(2x-1)}{3}\right) = \frac{1}{2}) равен (x = 1).