Найдите корни уравнения x в квадрате /x в квадрате -4=5x-6/x в квадрате -4

Для того чтобы найти корни уравнения x^2 / (x^2 - 4) = 5x - 6 / (x^2 - 4), сначала преобразуем уравнение.

Для начала заменим x^2 на y: y = x^2. Тогда уравнение примет вид y / (y - 4) = 5 * sqrt(y) - 6 / (y - 4).

Умножим обе части уравнения на (y - 4), чтобы избавиться от дробей: y = (5 * sqrt(y) - 6)(y - 4).

Раскроем скобки и приведем подобные члены: y = 5y - 20 * sqrt(y) - 6y + 24.

Упростим уравнение: -y = -20 * sqrt(y) + 24.

Возведем обе части уравнения в квадрат: y^2 = 400y - 960sqrt(y) + 576.

Подставим y = x^2 обратно: x^4 = 400x^2 - 960x + 576.

Полученное уравнение является квадратным относительно x^2. Решив его, найдем значения x, которые являются корнями исходного уравнения.

Давайте рассмотрим уравнение:

[ \frac{x^2}{x^2 - 4} = \frac{5x - 6}{x^2 - 4} ]

Первым шагом в решении этого уравнения является умножение обеих частей на знаменатель (x^2 - 4), чтобы избавиться от дробей. Однако важно помнить, что (x^2 - 4 = 0) при (x = \pm 2), что делает эти значения недопустимыми, так как они обращают знаменатель в ноль.

После умножения обеих частей на (x^2 - 4), уравнение упрощается до:

[ x^2 = 5x - 6 ]

Теперь приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:

[ x^2 - 5x + 6 = 0 ]

Это квадратное уравнение можно решить с помощью разложения на множители. Найдем два числа, произведение которых равно 6 (свободный член), а сумма равна -5 (коэффициент перед (x)):

Эти числа -2 и -3. Таким образом, уравнение можно разложить на множители следующим образом:

[ (x - 2)(x - 3) = 0 ]

Теперь найдем корни уравнения:

1. (x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2)
2. (x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3)

Теоретически, корни уравнения - это (x = 2) и (x = 3). Однако мы помним, что (x = \pm 2) недопустимы, поскольку они делают знаменатель равным нулю. Поэтому (x = 2) исключается из решения.

Окончательно, единственным допустимым корнем уравнения является:

[ x = 3 ]