Найдите корни уравнения x+2 деленное на х-1 + х деленное на х+1 = 6 деленное на х^2-1

Для начала преобразуем данное уравнение:

(x + 2)/(x - 1) + x/(x + 1) = 6/(x^2 - 1)

Для начала найдем общий знаменатель:

(x + 2)(x + 1) + x(x - 1) = 6

x^2 + x + 2x + 2 + x^2 - x = 6

2x^2 + 2 = 6

2x^2 = 4

x^2 = 2

x = ±√2

Таким образом, корнями уравнения являются x = √2 и x = -√2.

Давайте решим уравнение:

[ \frac{x+2}{x-1} + \frac{x}{x+1} = \frac{6}{x^2-1}. ]

Сначала заметим, что (x^2 - 1) можно разложить на множители:

[ x^2 - 1 = (x-1)(x+1). ]

Это разложение удобно, потому что оно совпадает с знаменателями дробей в левой части уравнения. Приведём все дроби к общему знаменателю ((x-1)(x+1)):

1. Первая дробь:

[ \frac{x+2}{x-1} = \frac{(x+2)(x+1)}{(x-1)(x+1)}. ]

1. Вторая дробь:

[ \frac{x}{x+1} = \frac{x(x-1)}{(x-1)(x+1)}. ]

Таким образом, наше уравнение становится:

[ \frac{(x+2)(x+1) + x(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{6}{(x-1)(x+1)}. ]

Поскольку знаменатели одинаковы, мы можем сравнить числители:

[ (x+2)(x+1) + x(x-1) = 6. ]

Раскроем скобки:

[ (x+2)(x+1) = x^2 + 3x + 2, ]

[ x(x-1) = x^2 - x. ]

Сложим:

[ x^2 + 3x + 2 + x^2 - x = 6. ]

Упростим:

[ 2x^2 + 2x + 2 = 6. ]

Перенесём 6 влево:

[ 2x^2 + 2x + 2 - 6 = 0, ]

[ 2x^2 + 2x - 4 = 0. ]

Разделим всё уравнение на 2:

[ x^2 + x - 2 = 0. ]

Теперь найдём корни квадратного уравнения:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, ]

где (a = 1), (b = 1), и (c = -2). Подставим значения:

[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}, ]

[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}, ]

[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2}, ]

[ x = \frac{-1 \pm 3}{2}. ]

Получаем два корня:

1. (x = \frac{-1 + 3}{2} = 1),
2. (x = \frac{-1 - 3}{2} = -2).

Однако, необходимо проверить, являются ли эти корни допустимыми для исходного уравнения. Подставляя (x = 1) или (x = -1), мы получаем нулевые знаменатели. Таким образом, корень (x = 1) не является допустимым, так как он приводит к делению на ноль в исходном уравнении.

Корень (x = -2) является допустимым, так как он не приводит к нулевому знаменателю:

Таким образом, единственный действительный корень уравнения:

[ x = -2. ]