Найдите критические точки: f(x)=2+18x^2-x4
Найдите критические точки: f(x)=2+18x^2-x4
Для нахождения критических точек функции необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю.
f'(x) = 36x - 4x^3
Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
36x - 4x^3 = 0
4x(9 - x^2) = 0
Таким образом, получаем две возможные критические точки: x = 0 и x = ±3.
Для определения того, является ли точка экстремумом или точкой перегиба, необходимо провести дополнительное исследование знаков производной в окрестностях этих точек.
Чтобы найти критические точки функции ( f(x) = 2 + 18x^2 - x^4 ), нужно выполнить несколько шагов, связанных с нахождением производной и анализом её значений.
Функция ( f(x) = 2 + 18x^2 - x^4 ). Чтобы найти критические точки, сначала определим её первую производную ( f'(x) ):
[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2) + \frac{d}{dx}(18x^2) - \frac{d}{dx}(x^4) ]
[ f'(x) = 0 + 36x - 4x^3 ]
Таким образом, первая производная функции:
[ f'(x) = 36x - 4x^3 ]
Критические точки находятся, когда первая производная равна нулю:
[ 36x - 4x^3 = 0 ]
Выделим общий множитель:
[ 4x(9 - x^2) = 0 ]
Данное уравнение будет равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим каждое из них отдельно:
( 4x = 0 ) (\Rightarrow x = 0)
( 9 - x^2 = 0 ) (\Rightarrow x^2 = 9)
(\Rightarrow x = \pm 3)
Таким образом, критические точки функции ( f(x) = 2 + 18x^2 - x^4 ) находятся при ( x = -3, 0, 3 ).
Для более полного анализа можно определить характер критических точек (минимум, максимум или точка перегиба) с помощью второй производной или теста первой производной. Но в этом случае мы нашли лишь критические точки, не анализируя их характер.
Чтобы найти критические точки, необходимо найти производную функции f(x) и приравнять ее к нулю:
f'(x) = 36x - 4x^3 = 0
Затем решить уравнение относительно x:
4x^3 = 36x x^2 = 9 x = ±3
Таким образом, критические точки функции f(x) равны x = -3 и x = 3.
