Найдите на числовой окружности точку 31пи/4

Чтобы найти точку, соответствующую углу ( \frac{31\pi}{4} ), на числовой окружности, необходимо учесть периодичность тригонометрических функций. В случае окружности это период (2\pi).

1. Определите периодичность: Поскольку числовая окружность имеет период (2\pi), мы можем вычесть целое количество полных оборотов (2\pi) из угла ( \frac{31\pi}{4} ).

2. Найдите эквивалентный угол в пределах одного оборота: [ \frac{31\pi}{4} \div 2\pi = \frac{31\pi}{4} \div \frac{8\pi}{4} = \frac{31}{8} ] Отсюда видно, что ( \frac{31}{8} ) — это 3 полных оборота, поскольку (3 \times 8 = 24), и остаток составляет (31 - 24 = 7).

3. Остаток даёт нам эквивалентный угол: [ \frac{7\pi}{4} ] Это угол, который будет соответствовать точке на окружности.

4. Определите положение этого угла на окружности: Угол ( \frac{7\pi}{4} ) находится в четвёртой четверти числовой окружности. Это связано с тем, что: [ 0 \leq \frac{7\pi}{4} < 2\pi ] Более точно, угол ( \frac{7\pi}{4} ) равен (2\pi - \frac{\pi}{4}), что соответствует углу (360^\circ - 45^\circ = 315^\circ).

5. Координаты точки на числовой окружности: Чтобы найти координаты точки на окружности, используем тригонометрические функции: [ x = \cos\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \cos(315^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} ] [ y = \sin\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \sin(315^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2} ]

Таким образом, точка на числовой окружности, соответствующая углу ( \frac{31\pi}{4} ), имеет координаты (\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)).

Точка 31π/4 на числовой окружности соответствует точке (-1,0) в декартовой системе координат.

Для того чтобы найти точку на числовой окружности, соответствующую углу 31π/4, нужно преобразовать этот угол в удобную форму. Так как 31π/4 = 7π + 3π/4, то это означает, что точка на окружности находится на угле 3π/4 после полного оборота окружности.

Угол 3π/4 соответствует точке (-√2/2, √2/2) на числовой окружности, так как sin(3π/4) = √2/2 и cos(3π/4) = -√2/2.

Итак, точка на числовой окружности, соответствующая углу 31π/4, будет точкой (-√2/2, √2/2).