Найдите наибольшее и наименьшее значения функции x^5+4*x^3+3*x-13 на отрезке [-1;1] Помогите, пожалуйста

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции (f(x) = x^5 + 4x^3 + 3x - 13) на отрезке ([-1;1]) необходимо использовать метод дифференциального исчисления.

1. Найдем производную функции (f(x)): [f'(x) = 5x^4 + 12x^2 + 3]

2. Найдем критические точки функции (f(x)), приравняв производную к нулю: [5x^4 + 12x^2 + 3 = 0]

3. Решим уравнение: [x^2 = -\frac{3}{5}]

Так как у нас отрезок ([-1;1]), то решение уравнения (x^2 = -\frac{3}{5}) не входит в данный отрезок. Значит, на краях отрезка находятся экстремумы функции (f(x)).

1. Найдем значения функции в точках -1, 0 и 1: [f(-1) = (-1)^5 + 4(-1)^3 + 3(-1) - 13 = -1 - 4 - 3 - 13 = -21] [f(0) = 0^5 + 4(0)^3 + 3(0) - 13 = -13] [f(1) = 1^5 + 4(1)^3 + 3(1) - 13 = 1 + 4 + 3 - 13 = -5]

Таким образом, наименьшее значение функции (f(x)) на отрезке ([-1;1]) равно -21 и достигается при (x = -1), а наибольшее значение равно -5 и достигается при (x = 1).

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции ( f(x) = x^5 + 4x^3 + 3x - 13 ) на отрезке ([-1, 1]), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции. Производная функции ( f(x) ) поможет найти критические точки, в которых функция может достигать экстремумов. Вычислим производную:

   [ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^5 + 4x^3 + 3x - 13) = 5x^4 + 12x^2 + 3. ]

2. Найти критические точки. Для этого решим уравнение ( f'(x) = 0 ):

   [ 5x^4 + 12x^2 + 3 = 0. ]

   Обозначим ( y = x^2 ). Тогда уравнение принимает вид:

   [ 5y^2 + 12y + 3 = 0. ]

   Это квадратное уравнение относительно ( y ). Найдем его корни по формуле:

   [ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, ]

   где ( a = 5 ), ( b = 12 ), ( c = 3 ). Подставим значения:

   [ y = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3}}{2 \cdot 5} = \frac{-12 \pm \sqrt{144 - 60}}{10} = \frac{-12 \pm \sqrt{84}}{10}. ]

   [ \sqrt{84} = 2\sqrt{21}. ]

   Таким образом, корни:

   [ y_1 = \frac{-12 + 2\sqrt{21}}{10}, \quad y_2 = \frac{-12 - 2\sqrt{21}}{10}. ]

   Поскольку ( y = x^2 ), оставим только неотрицательные значения ( y ), но в этом случае оба значения ( y_1 ) и ( y_2 ) отрицательны или не имеют смысла в интервале ([-1, 1]), так как они не дают корректных значений для ( x ).

3. Проверка значений функции на концах отрезка. Проверим значения функции в точках ( x = -1 ) и ( x = 1 ):

   • ( f(-1) = (-1)^5 + 4(-1)^3 + 3(-1) - 13 = -1 - 4 - 3 - 13 = -21 ).
   • ( f(1) = 1^5 + 4 \cdot 1^3 + 3 \cdot 1 - 13 = 1 + 4 + 3 - 13 = -5 ).

4. Сравнение значений. Критических точек внутри интервала ([-1, 1]) нет, поэтому минимальное и максимальное значения функции находятся на концах отрезка:

   • Наименьшее значение функции на отрезке ([-1, 1]) равно (-21) при ( x = -1 ).
   • Наибольшее значение функции на отрезке ([-1, 1]) равно (-5) при ( x = 1 ).

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке ([-1, 1]) равно (-5), а наименьшее — (-21).