Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения 3-4sin2t и вычислите его значение, если t=pi/12
Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения 3-4sin2t и вычислите его значение, если t=pi/12
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение выражения (3 - 4\sin(2t)), сначала рассмотрим функцию (f(t) = 3 - 4\sin(2t)).
Функция (\sin(x)) принимает значения в интервале ([-1, 1]). Следовательно, (\sin(2t)) тоже будет принимать значения в этом интервале.
Таким образом, наибольшее значение выражения (f(t) = 3 - 4\sin(2t)) равно 7, а наименьшее значение равно -1.
Теперь вычислим значение выражения при (t = \frac{\pi}{12}). Сначала найдём (2t): [ 2t = 2 \cdot \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{6} ] Теперь вычислим (\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)): [ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} ]
Теперь подставим обратно в выражение: [ f\left(\frac{\pi}{12}\right) = 3 - 4 \cdot \frac{1}{2} = 3 - 2 = 1 ]
Итак, значение выражения при (t = \frac{\pi}{12}) равно 1.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значения выражения 3-4sin^2(t) сначала найдем производную этой функции.
f(t) = 3 - 4sin^2(t)
f'(t) = -8sin(t)cos(t)
Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:
-8sin(t)cos(t) = 0
sin(t) = 0 или cos(t) = 0
Критические точки получаются при t = π/2, 0, π, 3π/2. Посмотрим на значения функции в этих точках:
f(0) = 3 - 4sin^2(0) = 3 f(π/2) = 3 - 4sin^2(π/2) = 3 - 4 = -1 f(π) = 3 - 4sin^2(π) = 3 f(3π/2) = 3 - 4sin^2(3π/2) = 3 - 4 = -1
Таким образом, наибольшее значение функции 3-4sin^2(t) равно 3, а наименьшее значение равно -1.
Теперь подставим значение t = π/12:
f(π/12) = 3-4sin^2(π/12) = 3-4sin^2(15°)
sin(15°) = sin(π/12) = (sqrt(6) - sqrt(2)) / 4
f(π/12) = 3-4((sqrt(6) - sqrt(2)) / 4)^2 = 3-4(6-2sqrt(12)+2)/(16) = 3-4(8-2sqrt(12))/(16) = 3-2(4-sqrt(12))/(8) = 3-2(4-2sqrt(3))/(8) = 3-2/4 = 3-1/2 = 5/2
Таким образом, значение выражения 3-4sin^2(π/12) при t=π/12 равно 5/2.
