Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y=x-cos2x на отрезке [-pi;0]

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции y=x-cos(2x) на отрезке [-π;0] необходимо найти критические точки и точки экстремума функции на данном отрезке.

1. Найдем критические точки: Для этого найдем производную функции y=x-cos(2x): y' = 1 + 2sin(2x)

Теперь найдем точки, где производная равна нулю: 1 + 2sin(2x) = 0 sin(2x) = -1/2 2x = -π/6, -5π/6 x = -π/12, -5π/12

1. Проверим найденные точки на экстремумы: Для этого воспользуемся второй производной: y'' = 4cos(2x)

Подставим найденные критические точки во вторую производную: y''(-π/12) = 4cos(-π/6) = 4 (√3/2) = 2√3 > 0 y''(-5π/12) = 4cos(-5π/6) = 4 (-√3/2) = -2√3 < 0

Таким образом, точка x = -π/12 является точкой локального минимума, а точка x = -5π/12 - точкой локального максимума.

1. Найдем значение функции в найденных точках: y(-π/12) = -π/12 - cos(2(-π/12)) ≈ -0.2618 y(-5π/12) = -5π/12 - cos(2(-5π/12)) ≈ -2.2618

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [-π;0] равно примерно -0.2618, а наибольшее значение равно примерно -2.2618.

Наименьшее значение функции y=x-cos(2x) на отрезке [-π;0] равно -π, наибольшее значение равно π.

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции (y = x - \cos(2x)) на отрезке ([-π; 0]), мы будем следовать стандартной процедуре, включающей нахождение критических точек и анализ граничных значений.

1. Нахождение производной функции: Начнем с нахождения первой производной функции (y = x - \cos(2x)): [ y' = \frac{d}{dx}(x - \cos(2x)) = 1 - \frac{d}{dx}(\cos(2x)) ] Используем правило цепочки для производной (\cos(2x)): [ \frac{d}{dx}(\cos(2x)) = -\sin(2x) \cdot 2 = -2\sin(2x) ] Следовательно, производная функции будет: [ y' = 1 + 2\sin(2x) ]

2. Находим критические точки: Критические точки находятся там, где (y' = 0) или где производная не определена. В данном случае: [ 1 + 2\sin(2x) = 0 ] Решим это уравнение: [ 2\sin(2x) = -1 \implies \sin(2x) = -\frac{1}{2} ] Найдем (x), удовлетворяющие этому уравнению на отрезке ([-π; 0]). Мы знаем, что (\sin(2x) = -\frac{1}{2}) при: [ 2x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad 2x = -\frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{для целых } k ] Разделим на 2: [ x = -\frac{\pi}{12} + k\pi \quad \text{или} \quad x = -\frac{5\pi}{12} + k\pi ]

   Проверим значения (x) на отрезке ([-π; 0]):

   • Для (x = -\frac{\pi}{12}): [ -π \leq -\frac{\pi}{12} \leq 0 \quad (\text{выполняется}) ]
   • Для (x = -\frac{5\pi}{12}): [ -π \leq -\frac{5\pi}{12} \leq 0 \quad (\text{выполняется}) ]

3. Анализ значений на границах и в критических точках: Теперь мы проверим значения функции (y = x - \cos(2x)) в критических точках и на границах отрезка ([-π; 0]).

   • При (x = -π): [ y(-π) = -π - \cos(-2π) = -π - 1 = -π - 1 ]

   • При (x = 0): [ y(0) = 0 - \cos(0) = 0 - 1 = -1 ]

   • При (x = -\frac{\pi}{12}): [ y\left(-\frac{\pi}{12}\right) = -\frac{\pi}{12} - \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\pi}{12} - \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\pi}{12} - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) ]

   • При (x = -\frac{5\pi}{12}): [ y\left(-\frac{5\pi}{12}\right) = -\frac{5\pi}{12} - \cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{5\pi}{12} - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{5\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} ]

4. Сравнение значений: Сравним полученные значения:

   • (y(-π) = -π - 1)
   • (y(0) = -1)
   • (y\left(-\frac{\pi}{12}\right) = -\frac{\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2})
   • (y\left(-\frac{5\pi}{12}\right) = -\frac{5\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2})

   Сравнивая эти значения, наибольшее значение достигается при (x = 0) и равно (-1), а наименьшее значение достигается при (x = -π) и равно (-π - 1).

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке ([-π; 0]) равно (-π - 1), а наибольшее значение равно (-1).