Найдите наименьшее значение функции f(x)=2x^3-9x^2 на отрезке [1:4]
заранее спасибо за ответ
Найдите наименьшее значение функции f(x)=2x^3-9x^2 на отрезке [1:4]
заранее спасибо за ответ
Для нахождения наименьшего значения функции f(x) на отрезке [1:4] необходимо найти критические точки функции внутри этого отрезка и сравнить значения в этих точках.
Для нахождения наименьшего значения функции ( f(x) = 2x^3 - 9x^2 ) на отрезке [1, 4], сначала найдем производную функции, затем определим критические точки и проанализируем значения функции в этих точках и на концах отрезка.
Находим производную функции: [ f'(x) = (2x^3 - 9x^2)' = 6x^2 - 18x = 6x(x - 3) ]
Определяем критические точки: [ f'(x) = 0 ] [ 6x(x - 3) = 0 ] Откуда: [ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 3 ] Точка ( x = 0 ) нас не интересует, так как она не попадает в отрезок [1, 4]. Точка ( x = 3 ) находится внутри отрезка.
Исследуем знаки производной: [ f'(x) > 0 ] при ( x < 0 ) и ( x > 3 ) [ f'(x) < 0 ] при ( 0 < x < 3 ) Это означает, что функция убывает от 1 до 3 и возрастает от 3 до 4.
Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка: [ f(1) = 2 \cdot 1^3 - 9 \cdot 1^2 = 2 - 9 = -7 ] [ f(3) = 2 \cdot 3^3 - 9 \cdot 3^2 = 2 \cdot 27 - 9 \cdot 9 = 54 - 81 = -27 ] [ f(4) = 2 \cdot 4^3 - 9 \cdot 4^2 = 2 \cdot 64 - 9 \cdot 16 = 128 - 144 = -16 ]
Сравниваем полученные значения: Наименьшее значение функции на отрезке [1, 4] достигается в точке ( x = 3 ) и равно ( -27 ).
Таким образом, наименьшее значение функции ( f(x) = 2x^3 - 9x^2 ) на отрезке [1, 4] равно ( -27 ).
Для нахождения наименьшего значения функции f(x) на отрезке [1:4] необходимо найти критические точки, которые могут быть максимумами или минимумами функции. Для этого найдем производную функции f(x) и приравняем ее к нулю:
f'(x) = 6x^2 - 18x
Теперь найдем критические точки:
6x^2 - 18x = 0 6x(x - 3) = 0
Отсюда получаем две критические точки: x = 0 и x = 3. Однако, по условию задачи нам нужно найти значение функции на отрезке [1:4], поэтому рассмотрим значения функции в точках x = 1, x = 3 и x = 4:
f(1) = 21^3 - 91^2 = 2 - 9 = -7 f(3) = 23^3 - 93^2 = 54 - 81 = -27 f(4) = 24^3 - 94^2 = 128 - 144 = -16
Таким образом, наименьшее значение функции f(x) на отрезке [1:4] равно -27.
