Найдите наименьшее значение функции на $1;4$ y=x^3-3x^2+2 Помогите решить

Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке $1;4$ необходимо найти критические точки данной функции внутри этого интервала. Для этого найдем производную функции y=x^3-3x^2+2:

y' = 3x^2 - 6x

Затем приравняем производную к нулю и найдем критические точки:

3x^2 - 6x = 0 3x$x-2$ = 0 x = 0, x = 2

Таким образом, критические точки находятся в точках x = 0 и x = 2. Однако, точка x = 0 не принадлежит отрезку $1;4$, поэтому рассмотрим только точку x = 2.

Подставляем x = 2 в исходную функцию:

y$2$ = 2^3 - 3*2^2 + 2 y$2$ = 8 - 12 + 2 y$2$ = -2

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке $1;4$ равно -2 и достигается в точке x = 2.

Чтобы найти наименьшее значение функции $y=x^3-3x^2+2$ на отрезке $[1;4]$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции: $y=x^3-3x^2+2$ Найдем первую производную: $y^{\prime }=\frac{d}{dx}(x^3-3x^2+2)=3x^2-6x$

2. Найти критические точки: Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Решим уравнение $y^{\prime }=0$: $3x^2-6x=0$ Вынесем общий множитель $3x$: $3x(x-2)=0$ Следовательно, $x=0$ или $x=2$.

3. Проверить, находятся ли критические точки в интервале $[1;4]$: Из двух критических точек $x=0$ и $x=2$, только $x=2$ лежит в заданном интервале $[1;4]$.

4. Вычислить значение функции в критических точках и на концах интервала: Найдем значения функции $y$ в точках $x=1$, $x=2$, и $x=4$: $y(1)=1^3-3\cdot 1^2+2=1-3+2=0$ $y(2)=2^3-3\cdot 2^2+2=8-12+2=-2$ $y(4)=4^3-3\cdot 4^2+2=64-48+2=18$

5. Сравнить значения функции в этих точках: $y(1)=0$ $y(2)=-2$ $y(4)=18$

Наименьшее значение функции на интервале $[1;4]$ равно $-2$ в точке $x=2$.

Таким образом, наименьшее значение функции $y=x^3-3x^2+2$ на отрезке $[1;4]$ равно $-2$.