Найдите наименьшее значение функции на [1;4] y=x^3-3x^2+2 Помогите решить

Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке [1;4] необходимо найти критические точки данной функции внутри этого интервала. Для этого найдем производную функции y=x^3-3x^2+2:

y' = 3x^2 - 6x

Затем приравняем производную к нулю и найдем критические точки:

3x^2 - 6x = 0 3x(x - 2) = 0 x = 0, x = 2

Таким образом, критические точки находятся в точках x = 0 и x = 2. Однако, точка x = 0 не принадлежит отрезку [1;4], поэтому рассмотрим только точку x = 2.

Подставляем x = 2 в исходную функцию:

y(2) = 2^3 - 3*2^2 + 2 y(2) = 8 - 12 + 2 y(2) = -2

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [1;4] равно -2 и достигается в точке x = 2.

Чтобы найти наименьшее значение функции ( y = x^3 - 3x^2 + 2 ) на отрезке ([1; 4]), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции: [ y = x^3 - 3x^2 + 2 ] Найдем первую производную: [ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2) = 3x^2 - 6x ]

2. Найти критические точки: Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Решим уравнение ( y' = 0 ): [ 3x^2 - 6x = 0 ] Вынесем общий множитель (3x): [ 3x(x - 2) = 0 ] Следовательно, ( x = 0 ) или ( x = 2 ).

3. Проверить, находятся ли критические точки в интервале ([1; 4]): Из двух критических точек ( x = 0 ) и ( x = 2 ), только ( x = 2 ) лежит в заданном интервале ([1; 4]).

4. Вычислить значение функции в критических точках и на концах интервала: Найдем значения функции ( y ) в точках ( x = 1 ), ( x = 2 ), и ( x = 4 ): [ y(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 ] [ y(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2 ] [ y(4) = 4^3 - 3 \cdot 4^2 + 2 = 64 - 48 + 2 = 18 ]

5. Сравнить значения функции в этих точках: [ y(1) = 0 ] [ y(2) = -2 ] [ y(4) = 18 ]

Наименьшее значение функции на интервале ([1; 4]) равно (-2) в точке ( x = 2 ).

Таким образом, наименьшее значение функции ( y = x^3 - 3x^2 + 2 ) на отрезке ([1; 4]) равно (-2).