Найдите наименьшее значение функции y=2/3x√x -3x+1 на отрезке [1;9]

Для нахождения наименьшего значения функции ( y = \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 3x + 1 ) на отрезке ([1; 9]) мы можем использовать производную для определения критических точек, а также проверить значения функции на концах отрезка.

1. Нахождение производной и критических точек

   Первым шагом найдем производную функции. Поскольку ( x\sqrt{x} = x^{3/2} ), то функция принимает вид: [ y = \frac{2}{3}x^{3/2} - 3x + 1 ]

   Производная этой функции: [ y' = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{1/2} - 3 = x^{1/2} - 3 ]

   Приравниваем производную к нулю для нахождения критических точек: [ x^{1/2} - 3 = 0 ] [ x^{1/2} = 3 ] [ x = 9 ]

   Таким образом, у нас есть критическая точка ( x = 9 ).

2. Проверка значения функции в критических точках и на концах отрезка

   Подставим ( x = 1 ) и ( x = 9 ) в исходную функцию для проверки значений на концах отрезка:

   При ( x = 1 ): [ y = \frac{2}{3} \times 1 \times \sqrt{1} - 3 \times 1 + 1 = \frac{2}{3} - 3 + 1 = \frac{2}{3} - 2 = \frac{2}{3} - \frac{6}{3} = -\frac{4}{3} ]

   При ( x = 9 ): [ y = \frac{2}{3} \times 9 \times \sqrt{9} - 3 \times 9 + 1 = \frac{2}{3} \times 9 \times 3 - 27 + 1 = 18 - 27 + 1 = -8 ]

   Исходя из этих расчетов, наименьшее значение функции на отрезке ([1; 9]) достигается при ( x = 9 ) и равно ( -8 ).

Для нахождения наименьшего значения функции y=2/3x√x -3x+1 на отрезке [1;9] необходимо найти критические точки функции в данном интервале.

1. Найдем производную функции y по x: y' = (2/3)√x + (2/3)x(1/2)x^(-1/2) - 3

2. Решим уравнение y' = 0: (2/3)√x + (1/3)x^(-1/2) - 3 = 0 Упростим выражение: 2√x + x^(-1/2) - 9 = 0 Приведем под общий знаменатель: 2√x + 1 - 9√x = 0 (2-9)√x + 1 = 0 -7√x + 1 = 0 -7√x = -1 √x = 1/7 x = 1/49

3. Теперь найдем значение функции y на краях отрезка [1;9]: y(1) = 2/311-31+1 = -1 y(9) = 2/393-39+1 = 1

4. Подставим найденные значения в функцию и определим, какое из них минимально: y(1/49) = 2/3(1/49)√(1/49) -3*(1/49) + 1 ≈ -1.04

Таким образом, наименьшее значение функции y=2/3x√x -3x+1 на отрезке [1;9] равно примерно -1.04 и достигается при x ≈ 1/49.