Найдите наименьшее значение функции y=(2x+15)*e^2x+16 на отрезке [− 12;- 2] с решением пожалуйста!

Для нахождения наименьшего значения функции ( y = (2x + 15)e^{2x} + 16 ) на отрезке ([-12; -2]), следуем следующим шагам:

1. Найдём критические точки функции на отрезке ([-12; -2]):

   • Для этого найдём производную функции и приравняем её к нулю.

2. Производная функции: [ y = (2x + 15)e^{2x} + 16 ] Используем правило произведения и цепное правило для нахождения производной: [ y' = \frac{d}{dx}[(2x + 15)e^{2x}] + \frac{d}{dx}[16] ] Поскольку производная от 16 равна 0, сосредоточимся на производной от ((2x + 15)e^{2x}): [ y' = (2x + 15) \cdot \frac{d}{dx}[e^{2x}] + e^{2x} \cdot \frac{d}{dx}[2x + 15] ] Производная (e^{2x}) равна (2e^{2x}), а производная (2x + 15) равна 2: [ y' = (2x + 15) \cdot 2e^{2x} + e^{2x} \cdot 2 ] [ y' = 2(2x + 15)e^{2x} + 2e^{2x} ] [ y' = 2e^{2x}[(2x + 15) + 1] ] [ y' = 2e^{2x}(2x + 16) ]

3. Найдём критические точки: Приравняем производную к нулю: [ 2e^{2x}(2x + 16) = 0 ] (e^{2x}) никогда не равен нулю, поэтому: [ 2x + 16 = 0 ] [ x = -8 ]

4. Проверим значения функции на концах отрезка и в критической точке: [ y(-12) = (2(-12) + 15)e^{2(-12)} + 16 = (-24 + 15)e^{-24} + 16 = -9e^{-24} + 16 ] [ y(-8) = (2(-8) + 15)e^{2(-8)} + 16 = (-16 + 15)e^{-16} + 16 = -e^{-16} + 16 ] [ y(-2) = (2(-2) + 15)e^{2(-2)} + 16 = (-4 + 15)e^{-4} + 16 = 11e^{-4} + 16 ]

5. Сравним значения:

   • (y(-12) = -9e^{-24} + 16)
   • (y(-8) = -e^{-16} + 16)
   • (y(-2) = 11e^{-4} + 16)

6. Анализ значений:

   • (e^{-24}) и (e^{-16}) очень малы, но (e^{-24}) намного меньше, чем (e^{-16}).
   • (e^{-4}) также мал, но значительно больше, чем (e^{-16}).

   Сравним значения численно:

   • (-9e^{-24} + 16 \approx 16) (очень близко к 16)
   • (-e^{-16} + 16 \approx 16)
   • (11e^{-4} + 16 \approx 16.201 ) (так как (e^{-4} \approx 0.018))

Наименьшее значение среди этих трех выражений — это ( -e^{-16} + 16 ), что соответствует точке ( x = -8 ).

Таким образом, наименьшее значение функции ( y = (2x + 15)e^{2x} + 16 ) на отрезке ([-12; -2]) достигается в точке ( x = -8 ) и равно ( 16 - e^{-16} ).

Для нахождения наименьшего значения функции y=(2x+15)*e^(2x)+16 на отрезке [-12; -2] необходимо найти точку, где производная функции равна нулю, а также проверить значения функции на концах отрезка.

1. Найдем производную функции y по x: y' = (2x + 15)e^(2x) + 2(2x + 15)e^(2x) = (4x + 30)e^(2x)

2. Найдем точку, где производная равна нулю: (4x + 30)*e^(2x) = 0 4x + 30 = 0 4x = -30 x = -7.5

3. Проверим значения функции на концах отрезка: y(-12) = (2(-12) + 15)e^(2(-12)) + 16 = (-24 + 15)e^(-24) + 16 ≈ 16.125 y(-2) = (2(-2) + 15)e^(2(-2)) + 16 = (-4 + 15)e^(-4) + 16 ≈ 15.632

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [-12; -2] равно приблизительно 15.632 и достигается при x = -2.