Найдите наименьшее значение функции y=(x^2+49)/x на отрезке [1;19]

Для того чтобы найти наименьшее значение функции ( y = \frac{x^2 + 49}{x} ) на отрезке ([1; 19]), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти критические точки функции на интервале ([1; 19]): Для этого нужно взять производную функции и найти точки, в которых производная равна нулю или не существует.

   Функцию можно переписать как: [ y = \frac{x^2}{x} + \frac{49}{x} = x + \frac{49}{x} ]

   Найдём первую производную функции: [ y' = \frac{d}{dx} \left( x + \frac{49}{x} \right) = 1 - \frac{49}{x^2} ]

   Приравниваем производную к нулю, чтобы найти критические точки: [ 1 - \frac{49}{x^2} = 0 ]

   Решаем уравнение: [ \frac{49}{x^2} = 1 ] [ x^2 = 49 ] [ x = \pm 7 ]

   Поскольку мы рассматриваем функцию на отрезке ([1; 19]), то отрицательные значения не подходят, и остаётся только ( x = 7 ).

2. Проверить значения функции на концах отрезка и в критических точках: Вычислим значения функции ( y ) в точках ( x = 1 ), ( x = 7 ), и ( x = 19 ).

   Для ( x = 1 ): [ y(1) = \frac{1^2 + 49}{1} = \frac{50}{1} = 50 ]

   Для ( x = 7 ): [ y(7) = \frac{7^2 + 49}{7} = \frac{49 + 49}{7} = \frac{98}{7} = 14 ]

   Для ( x = 19 ): [ y(19) = \frac{19^2 + 49}{19} = \frac{361 + 49}{19} = \frac{410}{19} \approx 21.58 ]

3. Сравнить полученные значения: [ y(1) = 50, \quad y(7) = 14, \quad y(19) \approx 21.58 ]

Таким образом, наименьшее значение функции ( y = \frac{x^2 + 49}{x} ) на отрезке ([1; 19]) достигается в точке ( x = 7 ) и равно ( 14 ).

Ответ: Наименьшее значение функции на отрезке ([1; 19]) равно ( 14 ).

Для нахождения наименьшего значения функции y=(x^2+49)/x на отрезке [1;19] необходимо найти производную этой функции и найти её нули в данном интервале.

Сначала найдем производную функции y=(x^2+49)/x. Для этого преобразуем её в вид y=x+49/x и возьмем производную от этого выражения:

y' = 1 - 49/x^2

Приравняем производную к нулю и найдем её нули:

1 - 49/x^2 = 0 1 = 49/x^2 x^2 = 49 x = ±7

Таким образом, нашли две критические точки: x = 7 и x = -7. Однако, по условию задачи рассматриваем отрезок [1;19], следовательно, рассматриваем только положительное значение x = 7.

Подставим найденное значение x = 7 обратно в исходную функцию:

y = (7^2 + 49) / 7 y = (49 + 49) / 7 y = 98 / 7 y = 14

Таким образом, наименьшее значение функции y=(x^2+49)/x на отрезке [1;19] равно 14.