Найдите область определения функции: f(x)=√x^{2}-2x

Для функции f(x) = √(x^2 - 2x) областью определения будет множество всех действительных чисел x, для которых выражение под корнем неотрицательно, то есть x^2 - 2x ≥ 0.

Для нахождения области определения данной функции, нужно решить неравенство x^2 - 2x ≥ 0. Сначала выразим его в виде произведения: x(x - 2) ≥ 0. Затем найдем корни уравнения x(x - 2) = 0: x = 0 и x = 2.

Построим знаки произведения x(x - 2) на числовой прямой. Получим три интервала: (-∞, 0), (0, 2) и (2, +∞). В этих интервалах произведение x(x - 2) может быть положительным или равным нулю. Следовательно, областью определения функции f(x) = √(x^2 - 2x) будет интервал (-∞, 0] ∪ [2, +∞).

Для нахождения области определения функции ( f(x) = \sqrt{x^2 - 2x} ), необходимо определить, при каких значениях переменной ( x ) выражение под знаком корня является неотрицательным. Это связано с тем, что квадратный корень определён только для неотрицательных чисел.

Итак, начнём с определения области допустимых значений подкоренного выражения:

[ x^2 - 2x \geq 0 ]

Рассмотрим это неравенство подробнее. Для удобства перепишем его в виде:

[ x(x - 2) \geq 0 ]

Теперь найдём корни этого уравнения:

[ x(x - 2) = 0 ]

Корни уравнения:

[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 2 ]

Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: ( (-\infty, 0) ), ( (0, 2) ) и ( (2, +\infty) ). Определим знаки выражения ( x(x - 2) ) на каждом из этих интервалов.

1. Для интервала ( (-\infty, 0) ):

   • Пусть ( x = -1 )
   • ( -1(-1 - 2) = -1 \cdot -3 = 3 \geq 0 )

2. Для интервала ( (0, 2) ):

   • Пусть ( x = 1 )
   • ( 1(1 - 2) = 1 \cdot -1 = -1 < 0 )

3. Для интервала ( (2, +\infty) ):

   • Пусть ( x = 3 )
   • ( 3(3 - 2) = 3 \cdot 1 = 3 \geq 0 )

Теперь учтём граничные точки:

• В точках ( x = 0 ) и ( x = 2 ) выражение ( x(x - 2) ) равно нулю, что удовлетворяет нашему неравенству.

Собирая все результаты, получаем, что выражение ( x^2 - 2x ) неотрицательно на интервалах ( (-\infty, 0] ) и ( [2, +\infty) ).

Следовательно, область определения функции ( f(x) = \sqrt{x^2 - 2x} ) есть объединение двух интервалов:

[ \boxed{(-\infty, 0] \cup [2, +\infty)} ]

Таким образом, функция ( f(x) ) определена на интервалах ( (-\infty, 0] ) и ( [2, +\infty) ).